Les maths ce sont les prblemes

[matou4]

bonjour :zen:
j'ai un petit probleme d'olampiads ,svp aidez moi :help:
DEMONTRER QUE QQSOIT X APPARTIENT a R on a x^4-X^3+X^2-X+1/2>0
et merci d'avance :we: :we:

[fonfon]

Salut,une idée tu peux etudier la fonction

[rene38]

Bonjour

Une autre idée :
montrer (factorisations, racine évidente, signe du trinôme, ...) que

[BQss]

bonjour :zen:
j'ai un petit probleme d'olampiads ,svp aidez moi :help:
DEMONTRER QUE QQSOIT X APPARTIENT a R on a x^4-X^3+X^2-X+1/2>0
et merci d'avance :we: :we:

une autre solution:

x^4-X^3+X^2-X+1/2>0

est equivalent a montrer que:

x^4+X^2+1/2>x^3+x

pour x=1 c'est evident car x^4>x^3 et que x^2>x donc le terme de droite est plus grand que le terme de gauche.

pour 0x^3
il ne reste donc plus qu'a prouver que:

x^4+1/2>x pour x appartient a ]0;1[
ou x^4-x>-1/2
on derive:
4x^3-1.
Cette fonction est croissante sur ]0;1[, tu y reconnais la fonction x-->x^3 translatée de -1 en ordonnée et un peu écrasée, et tu sais que la fonction x-->x^3 est croissante, donc cette dérivée est croissante. La dérivée est donc positive sur l'intervalle [a;1[ ou a est le point d'intersection avec l'axe des abscisses et negative sur ]0;a[. x-->x^4-x atteint donc un minimum en a:
4a^3-1=0 donc a^3=1/4 et a=1/[4^(1/3)]

donc x^4-x>a^4-a=(1/[4^(1/3)])^4 - 1/[4^(1/3)]>-1/2 sur ]0;1[


et c'est fini.

[matou4]

slt
merci beaucoup vous m'avez vraiment aidé
:++: :id: :we: