Les ensembles d'ensembles sont-ils réellement acceptables ?

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rarino5
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Les ensembles d'ensembles sont-ils réellement acceptables ?

par rarino5 » 23 Juin 2022, 16:46

Je relisais récemment un livre sur la logique, qui parle de "l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas" et s'il se contenait.

Le paradoxe n'est-il pas complètement évitable si les ensembles d'ensembles ne sont pas autorisés ? Pourtant, plus de 50 ans après la découverte du paradoxe, nous utilisons toujours des définitions impliquant des ensembles d'ensembles, comme dans la définition de l'ensemble de puissance d'un ensemble. Est-ce purement par commodité de terminologie plutôt que par rigueur ? Pour le cas d'un ensemble de puissances, il n'a pas vraiment besoin d'être défini, nous pourrions plutôt définir l'énumération d'un ensemble comme une séquence de sous-ensembles d'un ensemble, et probablement modéliser la théorie des ensembles de puissances de cette façon, n'est-ce pas ?

Y a-t-il des cas où des ensembles d'ensembles en tant que concept sont nécessaires à une théorie, et y a-t-il des disciplines en mathématiques qui n'acceptent pas la définition d'un ensemble de puissance car c'est un ensemble d'ensembles ?



GaBuZoMeu
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Re: Les ensembles d'ensembles sont-ils réellement acceptable

par GaBuZoMeu » 23 Juin 2022, 17:57

Bonjour,

Considérer des ensembles d'ensembles ne pose pas de problème. Ce qui pose problème, c'est l'ensemble de tous les ensembles. Quand on parle de l'ensemble des ensembles tels que ... on se place dans l'ensemble de tous les ensembles pour en sélectionner ; et ça, ça coince.

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Ben314
Le Ben
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Re: Les ensembles d'ensembles sont-ils réellement acceptable

par Ben314 » 23 Juin 2022, 18:50

Et pour completer ce que dit GaBuZoMeu, dans ZF(C), non seulement ca ne pose pas de problemes de considerer des ensembles d'ensembles, mais c'est meme une obligation evidente vu que les objets que l'on manipule dans ZF ne sont QUE des ensembles. Donc lorsque l'on fabrique un objet dans ZF ca ne peut etre qu'un ensemble et meme qu'un ensemble d'ensembles.
Par exemple, la definition la plus usuelle du nombre entier 3 dans ZF c'est

Qui est bien évidement un ensemble d'ensembles (et ça ne risque pas d'être autre chose que ça . . .)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

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