Les nbres dont l'ecrit. décimale n'utilise que 1 peuvent-ils etre 1ers? (term S)

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Anonyme

Les nbres dont l'ecrit. décimale n'utilise que 1 peuvent-ils etre 1ers? (term S)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

Bonsoir,
je suis en term S.

J'ai qq difficultés avec ce qui suit:

Les nombres dont l'ecriture décimale n'utilise que le seul chiffre 1
peuvent-ils etre premiers?
Pour tout entier naturel p >=2, on pose Np= 10 puissance (p-1) + 10
puissance (p-2) + ....+ 10 puissance 0

1- Les nbres N2= 11, N3= 111, N4= 1111 sont-ils premiers ? ( j'ai trouvé).

2- Prouver que Np = 10 puissance (p) - 1 / 9. Peut-on etre certain que 10
puissance (p) - 1 est divisible par 9 ?

3- On se propose de démontrer que si p n'est pas premieralors Np n'est pas
premier.
On rappelle que pour tout nbre réel x et tout entier naturel n non nul,
x puissance (n) - 1= (-1)(x puissance (n-2) + ...+ x + 1)

a- On suppose que p est pair et on pose p=2q ou q est un entier naturel plus
grand que 1. Montrer que Np est divisible par N2=11.
b- On suppose que p est multiple de 3 et on pose p= 3q ou q est un entier
naturel plus grand que 1. Montrer que Np est divisible par N3=111.
c- On suppose p non premier et on pose p=kq ou k et q sont des entiers
naturels plus grands que 1. En deduire que Np est divisible par Nk.


4- Enoncer une condition nécessaire pour que Np soit premier. Cette
condition est-elle suffisante ?








Anonyme

Re: Les nbres dont l'ecrit. décimale n'utilise que 1 peuvent

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

Le 02/12/2004 20:17, F.B. a écrit :

> Bonsoir,
> je suis en term S.
>
> J'ai qq difficultés avec ce qui suit:
>
> [énoncé complet]


Il est recommandé par la charte de ce groupe d'indiquer ce que tu as
déjà essayé de faire, et où tu bloques exactement. Comme tu annonces que
tu as répondu à la première question, je vais supposer que tu bloques à
la deuxième.

> 2- Prouver que Np = 10 puissance (p) - 1 / 9. Peut-on etre certain que 10
> puissance (p) - 1 est divisible par 9 ?


Commence par calculer les nombres (10^p - 1)/9 pour p = 2, 3, 4 et 5.
Est-ce que tu retrouves N2, N3, N4 et N5 ? Comment finir la question ?

Anonyme

Re: Les nbres dont l'ecrit. décimale n'utilise que 1 peuvent

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

Quelques précisions supplémentaires sur cet exercice :

Le 02/12/2004 20:17, F.B. a écrit :
>
> 3- On se propose de démontrer que si p n'est pas premieralors Np n'est pas
> premier.
> On rappelle que pour tout nbre réel x et tout entier naturel n non nul,
> x puissance (n) - 1= (-1)(x puissance (n-2) + ...+ x + 1)


Il doit y avoir une erreur de recopie.

Tu as écrit :
x^n - 1 = (-1)(x^(n-2) + ... + x + 1)
alors que c'est :
x^n - 1 = (x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1)

Note que ceci peut déjà te servir pour la question 2, avec x=10.

> 4- Enoncer une condition nécessaire pour que Np soit premier.


La réponse à cette question découle directement de la question 3.

> Cette condition est-elle suffisante ?


La réponse à cette question découle directement de la question 1.

--
Olivier Miakinen
Non, monsieur le juge, je vous le jure : jamais je n'ai cité
Bruxelles dans ma signature.

Anonyme

Re: Les nbres dont l'ecrit. décimale n'utilise que 1 peuvent

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:02

"Olivier Miakinen" a écrit dans le message news:
coo8sc$dij$1@cabale.usenet-fr.net...
> Le 02/12/2004 20:17, F.B. a écrit :
>[color=green]
> > Bonsoir,
> > je suis en term S.
> >
> > J'ai qq difficultés avec ce qui suit:
> >
> > [énoncé complet]

>
> Il est recommandé par la charte de ce groupe d'indiquer ce que tu as
> déjà essayé de faire, et où tu bloques exactement. Comme tu annonces que
> tu as répondu à la première question, je vais supposer que tu bloques à
> la deuxième.
>
> > 2- Prouver que Np = 10 puissance (p) - 1 / 9. Peut-on etre certain que
[/color]
10[color=green]
> > puissance (p) - 1 est divisible par 9 ?

>
> Commence par calculer les nombres (10^p - 1)/9 pour p = 2, 3, 4 et 5.
> Est-ce que tu retrouves N2, N3, N4 et N5 ? Comment finir la question ?[/color]

en réalité j'ai déja commencé a faire un petit calcul:
x^(n)-1= (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)
donc
10^(p)-1= (10-1)(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^(0))
= 9(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^(0))
(10^(p)-1)/9=(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^0)
mais voila le problème c'est que j'ai un 10 en trop!!!
ensuite je ne vois pas comment finir la question

pour la 3eme j'ai procédé comme suit:
si p n'est pas premier alors il existe (a;b) entiers et différents de 1 tels
que p= ab
Np= (10^(ab)-1)/9
= (10^(a)-1)((10^a)^(b+1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)/9
=pk car...

10^(a)-1>1
((10^a)^(b+1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)>1
donc 10^(ab) n'est pas premier
or 9 divise 10^(ab)-1 donc Np n'est pas premier

a) si p est pair alors Np= (10^(2q)-1)9 (q ? N q>1)

10 congru -1 [11]
10^(2q)congru 1 [11]
10^(2q)-1 congru 0 [11]
Np congru 0 [11] Np est donc divisible par N2

b) si p multiple de 3 alors p= 3q

10 congru -101[111]
10^(3q) congru -101^(3q) [111]

et la je n'arrive pas a continuer...


c) je suppose p non premier donc p= kq (k;q) ? N² k>1 q>1
on a demontré au 2) que si p nest pas premier alors Np n'est pas premier
donc ici Np n'est pas premier

et la aussi je ne vois pas comment continuer je me pense qu'il faut utiliser
les resultats du a) et du b) mais je ne vois pas comment.

4) pour que Np soit premier il faut que Np n'ait pas de diviseurs premiers
donc il faudrait qu'il soit divisible par 111ou 1111
d'aprés les résultas trouvés au b) il faudrait donc que p soit un multiple
de 3

de plus si p n'est pas premier alors Np n'est pas premier donc...
si p est premier alors Np est premier

pour que Np soit premier il faudrait aussi que p soit premier


pouvez vous m'aider a trouvé les solutions qui me posent problème et me
signaler mes erreurs eventuelles,, merci d'avance

Anonyme

Re: Les nbres dont l'ecrit. décimale n'utilise que 1 peuvent

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:02

Le 04/12/2004 15:08, F.B. a écrit :
>
> en réalité j'ai déja commencé a faire un petit calcul:
> x^(n)-1= (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)
> donc
> 10^(p)-1= (10-1)(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^(0))
> = 9(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^(0))
> (10^(p)-1)/9=(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^0)
> mais voila le problème c'est que j'ai un 10 en trop!!!


Un 10 en trop ? Où ça ? Est-ce que par hasard tu n'aurais pas oublié que
10^0 vaut 1 et non pas 10 ?

> ensuite je ne vois pas comment finir la question


Tu as trouvé que 10^p - 1 vaut 9 fois un entier, c'est une preuve
suffisante qu'il est divisible par 9.

> pour la 3eme j'ai procédé comme suit:
> si p n'est pas premier alors il existe (a;b) entiers et différents de 1 tels
> que p= ab
> Np= (10^(ab)-1)/9
> = (10^(a)-1)((10^a)^(b+1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)/9

^^^^^
(b-1)
> = [...]


Np = (10^(a)-1)((10^a)^(b-1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)/9
= (10^(a)-1)/9 × ((10^a)^(b-1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)
= Na × ((10^a)^(b-1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)

Tu as un produit de deux nombres premiers plus grands que 1, donc Np
n'est pas premier. En fait, ce faisant tu viens de répondre directement
à la question 3c. Il suffit alors de poser a (ou b) égale 2 puis 3 pour
avoir les réponses aux questions 3a et 3b.

> a) si p est pair alors Np= (10^(2q)-1)9 (q ? N q>1)
>
> 10 congru -1 [11]
> 10^(2q)congru 1 [11]
> 10^(2q)-1 congru 0 [11]
> Np congru 0 [11] Np est donc divisible par N2


C'est peut-être juste, mais je crains que la division par 9 ne pose un
problème. Une autre possibilité est la suivante :

Np = 10^(2q-1) + 10^(2q-2) + 10^(2q-3) + 10^(2q-4) + ... + 10^1 + 10^0
= (10+1)(10^(2q-2)) + (10+1)(10^(2q-4)) + ... + (10+1)(10^0)
= 11 × (10^(2q-2) + 10^(2q-4) + ... + 10^2 + 10^0)

En fait, cette formule compliquée ne dit rien d'autre que :
11 11 11 ... 11 = 11 × 1 01 01 ... 01

Pour le 3b, c'est pareil en regroupant par 3 :
111 111 111 ... 111 = 111 × 1 001 001 ... 001

Et pour le 3c, voir supra. Tu as déjà répondu à la question avant qu'on
ne te la pose réellement.

> 4) pour que Np soit premier il faut que Np n'ait pas de diviseurs premiers
> donc il faudrait qu'il soit divisible par 111ou 1111


Relis-toi : tu viens d'écrire que pour qu'un nombre soit premier il faut
qu'il soit divisible par un autre... ;-)

> d'aprés les résultas trouvés au b) il faudrait donc que p soit un multiple
> de 3


Les résultats trouvés en 3a et en 3b ne sont que des aides pour aller
vers 3c, mais nullement assez généraux. En revanche, le résultat
démontré en 3c est juste ce qu'il te faut.

> de plus si p n'est pas premier alors Np n'est pas premier donc...
> si p est premier alors Np est premier


« si A alors B, donc si non A alors non B » est le type même du
raisonnement faux. D'ailleurs le résultat que tu énonces, « si p est
premier alors Np est premier », est faux.

Regarde toi-même dans tes réponses à la question 1 : n'as-tu pas un
exemple où p est premier mais Np n'est pas premier ?

> pour que Np soit premier il faudrait aussi que p soit premier


Ça c'est vrai, mais tu as pris un chemin tortueux (et faux) pour y
arriver. As-tu entendu parler de « contraposée » (si tant est que l'on
utilise le même terme en 2004 que quand j'étais à l'école) ?

 

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