Le 04/12/2004 15:08, F.B. a écrit :
>
> en réalité j'ai déja commencé a faire un petit calcul:
> x^(n)-1= (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)
> donc
> 10^(p)-1= (10-1)(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^(0))
> = 9(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^(0))
> (10^(p)-1)/9=(10^(p-1)+10^(p-2)+...+10+10^0)
> mais voila le problème c'est que j'ai un 10 en trop!!!Un 10 en trop ? Où ça ? Est-ce que par hasard tu n'aurais pas oublié que
10^0 vaut 1 et non pas 10 ?
> ensuite je ne vois pas comment finir la questionTu as trouvé que 10^p - 1 vaut 9 fois un entier, c'est une preuve
suffisante qu'il est divisible par 9.
> pour la 3eme j'ai procédé comme suit:
> si p n'est pas premier alors il existe (a;b) entiers et différents de 1 tels
> que p= ab
> Np= (10^(ab)-1)/9
> = (10^(a)-1)((10^a)^(b+1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)/9^^^^^
(b-1)
> = [...]Np = (10^(a)-1)((10^a)^(b-1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)/9
= (10^(a)-1)/9 × ((10^a)^(b-1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)
= Na × ((10^a)^(b-1)+(10^a)^(b-2)+...+10^(a)+1)
Tu as un produit de deux nombres premiers plus grands que 1, donc Np
n'est pas premier. En fait, ce faisant tu viens de répondre directement
à la question 3c. Il suffit alors de poser a (ou b) égale 2 puis 3 pour
avoir les réponses aux questions 3a et 3b.
> a) si p est pair alors Np= (10^(2q)-1)9 (q ? N q>1)
>
> 10 congru -1 [11]
> 10^(2q)congru 1 [11]
> 10^(2q)-1 congru 0 [11]
> Np congru 0 [11] Np est donc divisible par N2C'est peut-être juste, mais je crains que la division par 9 ne pose un
problème. Une autre possibilité est la suivante :
Np = 10^(2q-1) + 10^(2q-2) + 10^(2q-3) + 10^(2q-4) + ... + 10^1 + 10^0
= (10+1)(10^(2q-2)) + (10+1)(10^(2q-4)) + ... + (10+1)(10^0)
= 11 × (10^(2q-2) + 10^(2q-4) + ... + 10^2 + 10^0)
En fait, cette formule compliquée ne dit rien d'autre que :
11 11 11 ... 11 = 11 × 1 01 01 ... 01
Pour le 3b, c'est pareil en regroupant par 3 :
111 111 111 ... 111 = 111 × 1 001 001 ... 001
Et pour le 3c, voir supra. Tu as déjà répondu à la question avant qu'on
ne te la pose réellement.
> 4) pour que Np soit premier il faut que Np n'ait pas de diviseurs premiers
> donc il faudrait qu'il soit divisible par 111ou 1111Relis-toi : tu viens d'écrire que pour qu'un nombre soit premier il faut
qu'il soit divisible par un autre...
> d'aprés les résultas trouvés au b) il faudrait donc que p soit un multiple
> de 3Les résultats trouvés en 3a et en 3b ne sont que des aides pour aller
vers 3c, mais nullement assez généraux. En revanche, le résultat
démontré en 3c est juste ce qu'il te faut.
> de plus si p n'est pas premier alors Np n'est pas premier donc...
> si p est premier alors Np est premier« si A alors B, donc si non A alors non B » est le type même du
raisonnement faux. D'ailleurs le résultat que tu énonces, « si p est
premier alors Np est premier », est faux.
Regarde toi-même dans tes réponses à la question 1 : n'as-tu pas un
exemple où p est premier mais Np n'est pas premier ?
> pour que Np soit premier il faudrait aussi que p soit premierÇa c'est vrai, mais tu as pris un chemin tortueux (et faux) pour y
arriver. As-tu entendu parler de « contraposée » (si tant est que l'on
utilise le même terme en 2004 que quand j'étais à l'école) ?