Juste une correction de récurence

[laura62510]

voila je sais que

I(n+1)=In - 1 / 2^n+1*(n+1)

et on me demande de déduire grace à cela et par récurence que :

racine de e = 1 + 1/2 * 1/1! + .... + 1/2^n * 1/n! + In

donc j'ai fait l'initialisation et ensuite j'ai fait mon hérédité mais je sais pas si 'est juste , voila:

1 + 1/2 *1/1! + ..... + 1/2^k+1 * 1/(k+1)! + I(k+1)
=1+ 1/2 *1/1!+ ....+ 1/2^k* 1/k! + 1/2^k+1 * 1/(k+1)! + Ik-1 / 2^k+1(k+1)!
=1 + 1/2 *1/1! + ..... + 1/2^k * 1/k! + Ik
=racine de e

merci pour la correction! :id:

[laura62510]

ensuite je dois montrer que :

0<= In <= (1/ 2^n*n!) + A

on sait que :

In = 1 / (2^n+1*n!) * intégrale sur [0;1] de (1-t)^n * e(1/2) dt

In+1= In - 1/ ( 2^n+1* (n+1)! )

racine de e = 1+ 1/2 * 1/1! +....+ 1/2^k * 1/k! + In

Donc j'ai procéde ainsi:

0 <= t <= 0
0<= (1-t) <= 1
0<= (1-t)^n <= 1
0<= (1-t)^n e(t/2) <= e(t/2)
0<= intégrale (1-t)^n e(t/2) dt <= intégrale e(t/2) dt
0<= 1/( 2^n+1*(n+1)! ) * intégrale (1-t)^n e(t/2) dt <=
1/( 2^n+1*(n+1)! ) * intégrale e(t/2) dt
0<= In <= (1 /2^n*n!) * 1/2 * intégrale e(t/2) dt

donc A= 1/2 * intégrale e(t/2) dt


seulemnt aprés on me demande grace a la fonction (1-t)^n * e(t/2) de déterminer A en maorant la fonction

donc je pense que j'ai faux et je vois pas vraiment ce que je peut faire d'autre

j'éspére que c'est compréhensible merci de votre aide