Invariant

[t.itou29]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre le problème suivant:

On part de la suite 1,2,3,...,100 puis chaque minute on choisit deux nombres u et v et les remplace par u+v+uv. Après 99 minutes il ne restera plus qu'un nombre, dépend-il des choix réalisés ?

J'ai conjecturé que non et que dans le cas général (1,2,3,...,n) le nombre restant vaut (n+1)!-1. En fait, on obtient la somme des produits des entiers pris 1 à 1 puis 2 par 2 etc et en factorisant on fait appaitre la factorielle. Par exemple dans le cas n=3:
1+2+3+1*2+2*3+3*1+1*2*3=(1+1)(1+2)(1+3)-1=4!-1.

Le problème c'est que je n'arrive pas a montrer rigoureusement qu'on obtient bien cette somme dans tous les cas ...

[siger]

Bonjour,

Desolé, mais ce n'est pas tres clair pour moi !!!!!

On part de la suite 1,2,3,...,100
on choisit deux nombres u et v et les remplace par u+v+uv.
.....
1,2,3
1+2+3+1*2+2*3+3*1+1*2*3
?????

[zygomatique]

salut

u et v sont remplacés par u + v + uv = (u + 1)(v + 1) - 1 = w

w et x sont alors remplacés par (w + 1)(x + 1) - 1 = (u + 1)(v + 1)(x + 1) - 1

...

et ainsi de suite

....

[t.itou29]

Bonjour,

Desolé, mais ce n'est pas tres clair pour moi !!!!!

On part de la suite 1,2,3,...,100
on choisit deux nombres u et v et les remplace par u+v+uv.
.....
1,2,3
1+2+3+1*2+2*3+3*1+1*2*3
?????

Oui effectivement c'est peut-être pas très clair. Je reprend le cas n=3
On part de 1,2,3
Etape 1:/On choisit par exemple 1 et 2, on les remplace par 1+2+2*1=5
On a alors la suite 3,5
Etape 2: On n'a alors plus le choix: on remplace 3 et 5 par 3+5+3*5=23
On vérifie que peut importe le choix a l'étape 1 on obtient le même nombre final: 23.
Pour l'expliquer (du moins tenter de l'expliquer...), on peut décomposer 23 comme 1+2+3+1*2+2*3+1*3+1*2*3=4!-1

[t.itou29]

salut

u et v sont remplacés par u + v + uv = (u + 1)(v + 1) - 1 = w

w et x sont alors remplacés par (w + 1)(x + 1) - 1 = (u + 1)(v + 1)(x + 1) - 1

...

et ainsi de suite

....

OK je vois, j'avais pensé à la "semi" factorisation (u+1)(v+1)-1 mais je n'arrivais pas à l'exploiter, merci !