Invariant

[t.itou29]

Bonjour,
J'ai une série de problèmes sur les invariants, le premier :

Soit un échiquier de 8x8 cases coloriées de façon habituelle. On peut repeindre a) toutes les cases d'une ligne ou d'une colonne b) toutes les cases d'un carré de 2x2. Peut-on arriver à une seule case noire ?
Je sais pas trop comment l'expliquer rigoureusement mais peut importe qu'on utilise a) ou b) la parité du nombre de cases noires est invariant, or il est pair au départ c'est donc impossible, est-ce bon ?

Maintenant plus difficile: soient tous les nombres de 1 à , chacun des nombres est remplacé par la somme des chiffres de son écriture décimale. On répète le processus jusqu'à obtenir nombres de 1 chiffre. Y a-t-il plus de 1 ou de 2 ?
J'ai pas la moindre idée.

[Ben314]

Pour le 1, c'est O.K. à condition de précise que tu n'a pas le droit de repeindre une zone déjà repeinte (sinon tu arrive à peindre toutes las cases sauf une en peignant bêtement toutes les lignes et colonnes ne contenant pas la case)
Mais je trouve qu'avec cette contrainte (interdire de repeindre une partie déjà peinte), l'énoncé est sans grand intérêt : à chaque "coup de peinture" on peint soit 4 soit 8 nouvelles case, i.e. un multiple de 4 et partant de 64, on ne peut descendre qu'à 4 (ou 0...) mais pas à 1, ni 2, ni 3

Pour le 2, LA astuce c'est que de remplacer un nombre par la somme de ces chiffres, ça ne change pas le reste de la division par 9 (à démontrer...)
Donc à la fin, lorsqu'il ne reste que des nombres à 1 chiffre, ces nombres sont les reste de la division du nombre de départ par 9. Il te reste donc à calculer combien il y a de nombres de la forme 9k+1 et combien il y en a de la forme 9k+2 entre 1 et

[t.itou29]

Pour le 1, c'est O.K. à condition de précise que tu n'a pas le droit de repeindre une zone déjà repeinte (sinon tu arrive à peindre toutes las cases sauf une en peignant bêtement toutes les lignes et colonnes ne contenant pas la case)
Mais je trouve qu'avec cette contrainte (interdire de repeindre une partie déjà peinte), l'énoncé est sans grand intérêt : à chaque "coup de peinture" on peint soit 4 soit 8 nouvelles case, i.e. un multiple de 4 et partant de 64, on ne peut descendre qu'à 4 (ou 0...) mais pas à 1, ni 2, ni 3

Pour le 2, LA astuce c'est que de remplacer un nombre par la somme de ces chiffres, ça ne change pas le reste de la division par 9 (à démontrer...)
Donc à la fin, lorsqu'il ne reste que des nombres à 1 chiffre, ces nombres sont les reste de la division du nombre de départ par 9. Il te reste donc à calculer combien il y a de nombres de la forme 9k+1 et combien il y en a de la forme 9k+2 entre 1 et

Je suis d'accord que l'énoncé est bizarre ou alors je l'ai mal traduit:
Assume an 8x8 chessboard with the usual coloring. You may repaint all the squares a) of a row or column b) of a 2x2 square. The goal is to obtain just one black square. Can you reach the goal ?
Pour le deuxième exo je vais réfléchir à la démonstration avec le reste de la divison (faut que je finisse mon français d'abord :mur: ). Merci

[Ben314]

J'ai peut être une idée pour rendre le premier exo intéressant : le fait de "repeindre", en fait ça veut dire remplacer toutes les noire par des blanches et vice versa.
Dans ce cas là, ça devient nettement plus intéressant comme exercice...

Pour le b) tu as surement déjà vu que pour savoir si un nombre est divisible par 3 (ou par 9), il suffit de regarder si la somme de ces chiffres l'est. Mais je ne pense pas que tu ait vu de preuve de ce résultat, donc c'est un peu "chalenge" de voir si tu vas trouver (c'est moyennement façile si on a pas l'habitude de l'arithmétique)

[t.itou29]

J'ai peut être une idée pour rendre le premier exo intéressant : le fait de "repeindre", en fait ça veut dire remplacer toutes les noire par des blanches et vice versa.
Dans ce cas là, ça devient nettement plus intéressant comme exercice...

Pour le b) tu as surement déjà vu que pour savoir si un nombre est divisible par 3 (ou par 9), il suffit de regarder si la somme de ces chiffres l'est. Mais je ne pense pas que tu ait vu de preuve de ce résultat, donc c'est un peu "chalenge" de voir si tu vas trouver (c'est moyennement façile si on a pas l'habitude de l'arithmétique)

Effectivement j'ai jamais fait d'arithmétique, j'ai réussi à bricoler un truc:
Soient les chiffres de l'écriture décimale d'un entier
On suppose que est divisible par 3.
On a alors:
Or il est clair que est divisible par 9 (en effet
et par hypothèse est divisible par 3.
P est donc divisible par 3
Est-ce correct ? Je pense qu'il y pas plus simple mais je n'ai vraiment rien vu en arithmétique pour l'instant !
EDIT: je viens de me relire ça marche pas ! C'est faux...

[t.itou29]

Effectivement j'ai jamais fait d'arithmétique, j'ai réussi à bricoler un truc:
Soient les chiffres de l'écriture décimale d'un entier
On suppose que est divisible par 3.
On a alors:
Or il est clair que est divisible par 9 (en effet
et par hypothèse est divisible par 3.
P est donc divisible par 3
Est-ce correct ? Je pense qu'il y pas plus simple mais je n'ai vraiment rien vu en arithmétique pour l'instant !

[Ben314]

C'est nickel et avec les outils "spéciaux" d'arithmétique (ça s'apelle des congruence), en fait on écrit quasiment la même chose. Le seul endroit où ç'est légèrement différent c'est qu'en ayant fait de l'arithmétique, tu sait que tu as le droit de dire "vu que le reste de la division de 10 par 9 est 1, le reste de la division de 10^i par 9 est 1^i (donc 1)"

Tu peut même en déduire "un peu plus" : ton égalité

elle montre que, quelque soit le nombre p de départ, est un multiple de 9, ce qui veut dire que et ont le même reste de division euclidienne par 9.

Par exemple, si p=345812, la somme des chiffres est 3+4+5+8+1+2=23 puis 2+3=5 donc le reste de la division de p par 9 est 5 (ou si tu préfère, p-5 se divise par 9)