Intuition : où est la faille ?

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upium666
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Intuition : où est la faille ?

par upium666 » 23 Mar 2014, 22:27

Bonjour à tous et à toutes !

En classe de mathématiques (enseignement spécifique), nous étions confrontés à un exercice où il fallait prouver qu'une certaine suite converge
Le professeur nous a arrêté sur une "faute logique" pour lui très grave
Maintenant que je vous l'exposerai, on pourra avouer qu'elle est grave ... mais pas tant que ça
Parce que l'intuition nous a joué un tour, nous n'y pouvions rien :p

Voici l'erreur que nous avons faite :
est une suite donnée, monotone
A l'aide de la formule explicite de (que j'ai perdue d'ailleurs, peu importe), nous avons montré que :
Et là réside la faute dans notre déduction :
Nous nous sommes dits "Puisque la variation entre deux termes consécutifs tend vers 0, c'est qu'à l'infini la suite devient constante, donc la suite converge"
C'est une très belle erreur
Le professeur s'est débattu pour nous dire que ce raisonnement était faux, mais il n'a pas trouvé de contre-exemple, et comme ça paraît intuitif, personne n'a été convaincu
A parte, nous sommes partis chez un autre professeur qui était chercheur au CNRS, et lui a su nous trouver un bon contre-exemple
Je l'ai en tête, mais je veux vous laisser chercher :we:

Je propose alors la chose suivante :
1)Sans contre-exemple : Où réside l'erreur dans le raisonnement ? (ça je suis curieux de le savoir)
2)Trouver un contre-exemple à notre déduction

Bonne trouvailles, et merci de participer à la discussion !
Upium666



Robic
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par Robic » 23 Mar 2014, 22:31

Le contre-exemple classique, c'est la suite . Elle tend vers l'infini et pourtant qui tend vers 0.

Mais bon, la difficulté est alors d'arriver à convaincre des lycéens que cette suite tend bien vers l'infini, vu qu'elle n'est pas au programme...

1) L'erreur dans le raisonnement, c'est qu'on est en train de dire que zéro fois l'infini égale une constante. Alors qu'en réalité c'est indéterminé donc tout peut arriver. Je m'explique :

On peut dire que Dans cette somme, j'ajoute les écarts entre chaque terme. Un peu comme si était la hauteur atteinte en ayant grimpé des escaliers : les correspondent à la hauteur des marches, tandis que les représentent la hauteur tout court. Ici, on a donc des marches qui tendent certes vers 0, mais pour atteindre la limite en l'infini, il faut grimper une infinité de marches. Ajouter une infinité de choses qui tendent vers 0, c'est équivalent à faire l'infini fois zéro : c'est une forme indéterminée.

2) J'ai un autre contre-exemple et celui-ci peut être compris au lycée : . Il est clair que cette suite tend vers l'infini et pourtant :
qui tend vers 0.

Un autre contre-exemple facile est : la suite tend vers l'infini et qui tend vers le logarithme de 1, donc vers 0.

En fait, il suffit de trouver une fonction f croissante vers l'infini dont la dérivée tend vers 0 (une courbe qui grimpe, qui grimpe, mais de moins en moins : la racine carrée et le logarithme sont les deux cas les plus connus) et on pose .

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Ben314
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par Ben314 » 23 Mar 2014, 23:33

Robic a écrit:Le contre-exemple classique, c'est la suite . Elle tend vers l'infini et pourtant qui tend vers 0.

Mais bon, la difficulté est alors d'arriver à convaincre des lycéens que cette suite tend bien vers l'infini, vu qu'elle n'est pas au programme...

- Le premier terme est... 1
- Le suivant est 1/2 (jusque là, tout le monde suit ?)
- Les deux suivant 1/3 et 1/4 sont supérieurs à 1/4 donc leur somme est supérieure à 2x1/4=1/2
- Les quatre suivant 1/5, 1/6, 1/7 et 1/8 sont supérieurs à 1/8 donc leur somme est supérieure à 4x1/8=1/2
- Les huit suivants 1/9, 1/10, ... 1/16 sont supérieurs à 1/16 donc leur somme est supérieure à 8x1/16=1/2
- Les seize suivants 1/17, 1/18, ... 1/32 sont supérieurs à 1/32 donc leur somme est supérieure à 16x1/32=1/2
etc...

P.S. C'est la façon la plus simple de montrer que ln(x) tend vers +oo en +oo lorsqu'on le défini comme la primitive de 1/x qui s'annule en x=1 : ça vient de l'idée "de fond" que ln(2^n)=n.ln(2) et on peut évidement remplacer le 2 par autre chose.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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fatal_error
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par fatal_error » 23 Mar 2014, 23:36

yop,

"Puisque la variation entre deux termes consécutifs tend vers 0, c'est qu'à l'infini la suite devient constante, donc la suite converge"

sans regarder la divergence, on peut prendre
sin(x)/x, la suite va bien converger, mais elle est pas constante pour autant, elle continue d'osciller...dans ses derniers souffles amortis...éternels :triste:

quant à la démo, il suffit d'un contre exemple c'est suffisant.
la vie est une fête :)

paquito
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par paquito » 24 Mar 2014, 11:57

Quand on a lim(U(n+1)-Un)=0, ça ne prouve rien si on ne sait pas que la suite est convergente; par contre si on sait qu'elle est convergente on a bien ce résultat car l=lim Un=limU(n+1).
Ce n'est pas une grave erreur de logique car ta réponse est assez naturelle.
Si tu veux un autre contre exemple, on peut prendre ln(ln(n)) et là on a encore pire car
lim(U(2n)-Un)=lim(ln(ln(2n))-ln(ln(n)))=lim(ln(ln(2n)/ln(n))=lim(ln(2/ln(n)+1)=0, mais ln(ln(n)) diverge vers+inf.
Moralité, il faut d'abord prouver qu'une suite est convergente vers un réel l pour pouvoir utiliser l=lim(Un)=lim(U(n+1).

Dans les exos du bac, on a souvent une suite définie par U0 et une relation de récurrence de la forme U(n+1)=f(Un). On demande d'abord de prouver que la suite et convergente (croissante et majorée par exemple); soit alors l sa limite, tu peux écrire l=f(l), ce qui te permet de trouver la valeur de l.

Robic
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par Robic » 24 Mar 2014, 19:21

par contre si on sait qu'elle est convergente on a bien ce résultat

Tu veux dire que si on sait qu'elle est convergente, alors ça prouve qu'elle est convergente ? :zen: (« Ce résultat », dans le contexte de la discussion, c'est « nous étions confrontés à un exercice où il fallait prouver qu'une certaine suite converge »).

paquito
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par paquito » 24 Mar 2014, 21:55

Non, je veux seulement dire qu'il faut prendre des précautions; lim(U(n+1)-Un)=0 ne prouve pas que la suite est convergente, même si on a envie de le dire; je donne un exemple où lim(U(2n)-Un)=0 alors que Un est divergente. Je signale seulement que pour parler de limite, il faut d'abord le prouver.
Le critère de Cauchy étant bien sûr hors programme! Prouver qu'une suite est convergente ne donne pas sa limite, mais on peut alors utiliser lim(U(n+1)=limUn.

paquito
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par paquito » 25 Mar 2014, 11:51

Je donne un erreur qui montre bien qu'il faut d'abord savoir qu'une suite est convergente avant d'utiliser sa limite;Soit(Un) définie par Uo=1 et Un(n+1)=3Un-1/un; si l'on pose sans précaution
limUn=l, on a l=3l-1/l on trouve l=V2/2 mais en fait on prouve rapidement par récurrence que Un>=1, puis que U(n+1)-Un>=1 ce qui donne Un>=n et donc (Un) diverge vers +inf. En fait V2/2 est un point fixe répulsif de f(x)=3x-1/x.

Ma remarque n'est valable que si la limite ne se calcule pas directement( Un=(1/2)^n+4 par exemple), mais pour les tours de "magie" fais avec des séries divergentes, elle devient essentielle.

Robic
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par Robic » 25 Mar 2014, 21:08

N'empêche, j'aurais bien aimé savoir si Upium est maintenant convaincu ou si ça reste mystérieux. Par exemple j'aime bien l'analogie de l'escalier avec les marches de plus en plus petites sauf qu'il y en a une infinité. C'est pour savoir si je la garde...

Paquito : je crois que le problème n'était pas là. C'était de voir, intuitivement, que même si les écarts entre éléments de la suite tendent vers 0, ça ne prouve pas l'existence de la limite (finie).

upium666
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par upium666 » 25 Mar 2014, 21:37

Robic a écrit:N'empêche, j'aurais bien aimé savoir si Upium est maintenant convaincu ou si ça reste mystérieux. Par exemple j'aime bien l'analogie de l'escalier avec les marches de plus en plus petites sauf qu'il y en a une infinité. C'est pour savoir si je la garde...

Paquito : je crois que le problème n'était pas là. C'était de voir, intuitivement, que même si les écarts entre éléments de la suite tendent vers 0, ça ne prouve pas l'existence de la limite (finie).


Je suis bel et bien convaincu :D
Merci à tous (^_^)

Robic
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par Robic » 25 Mar 2014, 22:06

OK. (Je trouve que c'est une chose de savoir que tel truc n'est pas possible, mais c'est autre chose d'en être vraiment convaincu, d'où l'intérêt de ce sujet !)

beagle
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par beagle » 25 Mar 2014, 23:05

Robic a écrit:OK. (Je trouve que c'est une chose de savoir que tel truc n'est pas possible, mais c'est autre chose d'en être vraiment convaincu, d'où l'intérêt de ce sujet !)


J'ai pas bien compris avec les marches.
ce que j'ai le mieux compris c'est Ben314, j'ai toujours une somme de terme (qui certes augmente à chaque fois), j'ai toujours une somme de terme qui fait UNE marche de plus.donc j'aurais bien toujours des marches et des marches...

alors que de savoir que les marches diminuent de taille vont plutot dans le sens contre-intuitif que finalement montant de moins en moins cela ne peut pas dépasser une certaine limite.

paquito
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par paquito » 25 Mar 2014, 23:13

Robic a écrit:N'empêche, j'aurais bien aimé savoir si Upium est maintenant convaincu ou si ça reste mystérieux. Par exemple j'aime bien l'analogie de l'escalier avec les marches de plus en plus petites sauf qu'il y en a une infinité. C'est pour savoir si je la garde...

Paquito : je crois que le problème n'était pas là. C'était de voir, intuitivement, que même si les écarts entre éléments de la suite tendent vers 0, ça ne prouve pas l'existence de la limite (finie).


et si on croit qu'on a l'existence de la limite, on aboutit à des résultats bizarres; il est donc important d'une part que lim(u(n+1)-Un)=0 ne prouve pas que (Un) converge et que si l'on a pas la convergence ça peut conduire à une conclusion archi fausse.D'où l'intérêt de connaître le seul critère de convergence au programme et de se méfier d'un critère qui est un faux ami. Il faut aussi montrer pourquoi ce critére ou d'autres précipitations sont nuisibles.

Nightmare
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par Nightmare » 25 Mar 2014, 23:18

Problème classique mais intéressant, notamment dans sa généralisation :

Voir [url="http://www.maths-forum.com/suites-134300.php"]ce topic[/url] dans un premier temps, puis [url="http://www.maths-forum.com/fonctions-a-divergence-lente-134348.php"]celui-ci[/url]

dommage, il n'y a pas de critère de Cauchy "non uniforme" :triste:

Robic
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par Robic » 26 Mar 2014, 03:20

beagle a écrit:alors que de savoir que les marches diminuent de taille vont plutot dans le sens contre-intuitif que finalement montant de moins en moins cela ne peut pas dépasser une certaine limite.

Oui mais l'argument, c'est qu'il reste une infinité de marche, et l'infini fois zéro est une forme indéterminée. En terminale les élèves commencent à être familiers des formes indéterminées donc je pensais que ça ferait bien comprendre le truc.

beagle
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par beagle » 26 Mar 2014, 09:04

Robic a écrit:Oui mais l'argument, c'est qu'il reste une infinité de marche, et l'infini fois zéro est une forme indéterminée. En terminale les élèves commencent à être familiers des formes indéterminées donc je pensais que ça ferait bien comprendre le truc.


Tu as peut-ètre raison, mais perso je ne suis pas de niveau terminale s'agissant des limites.
C'est trop vieux et j'ai pas refait ce truc avec ma fille, donc je ne connais rien.
Enfin je connais mes limites...
Faut prendre ma remarque comme venant d'un collégien.

paquito
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par paquito » 26 Mar 2014, 11:55

L'image de l'escalier est une image physique qui doit tenir compte de la largeur des marches (30 cm à mon avis); donc si on empreinte cet escalier, il ne faut pas avoir peur de marcher très longtemps et même infiniment...

En ce qui concerne la divergence de la série harmonique, les élèves font pas mal d'exos sur la méthode des rectangles, donc ils comprendrons facilement que int(1;n+1)(1/x)dx=<1+1/2+1/3+....+1/n, soit 1+1/2+.....+1/n>ln(n+1), ce qui prouve la divergence de la série harmonique en étant dans le cadre du programme.

beagle
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par beagle » 26 Mar 2014, 12:38

Si on reprend l'explication de Ben314, l'escalier avec les marches fonctionne très bien,
car Ben314 fabrique marche après marche, des marches de au moins la mème hauteur de marche à chaque fois,
on peut toujours arriver à faire une nouvelle marche de mème hauteur ou plus.
Dans ces conditions cela monte tout le temps.Aucune raison de stagner à un niveau donné.

L'ennuie des marches qui sont infinies mais qui diminuent de taille au fur et à mesure, c'est que cela donne l'impression que l'escalier ne se construit qu'avec des marches de plus en plus petites, donc intuitivement tu te dis on ne va pas monter haut si plus j'avance et moins ça monte.

 

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