Défi d'intuition

[Nightmare]

Bonjour à tous !

Je vous propose un nouveau "genre" d'exercice ludiques pour les lycéens. Les énoncés que je proposerai ne seront pas d'un niveau précis, et comporteront des notions inconnues du programme de lycée mais dont l'appellation apporte un indice intuitif sur la signification du mot. Aussi, pour ces exercices, je n'attends pas de preuves rigoureuse, mais juste des tentatives d'explications de l'énoncé, en essayant de donner un sens, comme vous l'entendez, des notions que vous ne comprenez pas et d'essayer alors de donner une réponse intuitive à l'énoncé, tout en l'accompagnant des preuves que vous êtes capables de faire (on pourra prouver une partie de l'exercice rigoureusement, et conclure intuitivement).

Pour vous donner un exemple, voici les deux premiers exercices de ce type que je propose :

1) Extension quadratique : Notons l'ensemble de toutes les valeurs prises par où P décrit l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels.

Quelle est la dimension de K?



2) Ensemble négligeable : Etant donné un carré C de côté 1 quadrillé en 3*3=9 carrés de côté 1/3. On en retire tous les carrés dont aucun sommet n'est un sommet de C. On obtient 4 carrés. On quadrille chacun de ces carrés par 9 carrés de côtés 1/9 et on réitère le procédé en enlevant de chacun des carrés la "croix" centrale etc. on itère la construction à l'infini et on obtient un ensemble K.

Voici les étapes 1 et 2 de la construction :

(Source des images : http://www.mathcurve.com)

Quelle est la mesure de l'ensemble K?

Bonne réflexion.

:happy3:

[Anonyme]

Bonjour,

Voila comment je traduirais la première question:

Étant donné un réel dans K quelles est le nombre minimal de conditions que doit vérifier un polynôme P(X) a coefficient rationnel pour que .

C'est bien cela ?

[windows7]

je suis pas persuadé que ca va aboutir ( surtout la dimension )

[Nightmare]

Salut !

Il y a de la bonne idée cachée là dedans. Tu veux chercher le nombre minimal de "conditions", le problème est qu'on ne sait pas trop quel "type" de condition on veut.

Par exemple, prenons une droite dans le plan, on peut la décrire par deux conditions : " elle passe part un certain point et est parallèle à une autre" ou par une unique : " elle passe par deux points donnés". Du coup, avec cette "définition" de la dimension, quelle serait la dimension d'une droite? Ca parait peu clair. Il faut étayer un peu cette notion de "condition". Je t'invite à remplacer par exemple ce mot par "paramètres".

[Anonyme]

Ils faut donc imposer des conditions aux conditions pour les considérer comme valide :zen:

Dans ma définition la dimension d'une droite serait 1 car on cherche le nombre minimal de paramètre pour définir un objet.

En y réfléchissant un peu j'obtiens une autre formulation.

C'est le plus petit entier N tel qu'il n’existe aucun réel de K qui admet N+1 polynôme de P vérifiant .

Après je ne sais pas si l'on compte seulement les polynômes irréductibles mais je suppose parce que si ce n'est pas le cas alors on aurait dans la plupart des cas une dimension infinie.

[Nightmare]

Dans ma définition la dimension d'une droite serait 1 car on cherche le nombre minimal de paramètre pour définir un objet.

Effectivement, une droite est de dimension 1. Une bonne manière de le traduire est en disant cela : Si je trace une droite, je n'ai besoin que d'une donnée, c'est sa direction. Tu vas me dire qu'on a aussi besoin d'un point sur la droite sinon on obtient pas une droite mais une infinité de droites parallèles, mais je suis sûr que tu n'auras pas de mal à concevoir qu'une droite ou ses parallèles, représentent le même objet.

Une autre manière, équivalente, de traduire le fait qu'on est en dimension 1 est de dire que pour se repérer sur une droite, on a besoin que d'une seule coordonnée, l'abscisse.

Avec ceci, peut être l'exercice devient-il un peu plus clair. Dans un premier temps, il faudrait essayer d'exprimer autrement l'ensemble . Pour cela, une question : Quelle est la forme des éléments de cet ensemble? (Tu peux faire des calculs avec différents polynôme pour voir ce que ça donne).


Concernant ton autre "définition" de la dimension, je ne comprends pas pourquoi compter les polynômes qui prennent une même valeur, surtout que lorsqu'on en a un qui prend une certaine valeur en V(2), on peut en trouver une infinité qui prennent cette valeur. Comment les construire? (Répondre à cette question peut aussi aider pour la question 1) :lol3:)

[Anonyme]

Effectivement, une droite est de dimension 1. Une bonne manière de le traduire est en disant cela : Si je trace une droite, je n'ai besoin que d'une donnée, c'est sa direction. Tu vas me dire qu'on a aussi besoin d'un point sur la droite sinon on obtient pas une droite mais une infinité de droites parallèles, mais je suis sûr que tu n'auras pas de mal à concevoir qu'une droite ou ses parallèles, représentent le même objet.

Une autre manière, équivalente, de traduire le fait qu'on est en dimension 1 est de dire que pour se repérer sur une droite, on a besoin que d'une seule coordonnée, l'abscisse.

C'est un cas particulier ? ou bien on a toujours que le nombre de donné pour construire un objet est égal a celui dont on a besoin pour repérer un point sur cet objet ?

Avec ceci, peut être l'exercice devient-il un peu plus clair. Dans un premier temps, il faudrait essayer d'exprimer autrement l'ensemble . Pour cela, une question : Quelle est la forme des éléments de cet ensemble? (Tu peux faire des calculs avec différents polynôme pour voir ce que ça donne).

avec a et b rationnels ?

Concernant ton autre "définition" de la dimension, je ne comprends pas pourquoi compter les polynômes qui prennent une même valeur, surtout que lorsqu'on en a un qui prend une certaine valeur en V(2), on peut en trouver une infinité qui prennent cette valeur. Comment les construire? (Répondre à cette question peut aussi aider pour la question 1) :lol3:)

Il suffit de trouver un polynôme qui en prend la valeur 0 ou la valeur 1 apres il suffit de multiplier ce polynôme par lui même.
C'est pour cette raison que j'ai proposer de tenir compte seulement des irréductibles sinon ça n'a pas trop de sens.

[Anonyme]

Alors Nightmare ?

[Nightmare]

C'est un cas particulier ? ou bien on a toujours que le nombre de donné pour construire un objet est égal a celui dont on a besoin pour repérer un point sur cet objet ?

Eh bien oui, puisqu'on "repère" un objet par ses données :lol3: (Ecrire qu'un point sur un droite est d'abscisse x revient bien à écrire que c'est l'image de l'origine par la translation de où v est le vecteur directeur de la droite.

avec a et b rationnels ?

Oui ! Pourquoi?

Il suffit de trouver un polynôme qui en prend la valeur 0 ou la valeur 1 apres il suffit de multiplier ce polynôme par lui même.
C'est pour cette raison que j'ai proposer de tenir compte seulement des irréductibles sinon ça n'a pas trop de sens.

Oui, tout polynôme de la forme Q(x)+kP(x) où k est un réel et P qui s'annule en V(2) prend les même valeurs en V(2) que Q(x) (logique !)

[Anonyme]

Oui ! Pourquoi?

Pour pair est un entier naturel donc est rationnel.

Pour i impair .

donc ...

[Nightmare]

C'est juste !

Donc finalement, quelle est la dimension de notre ensemble? (Je repose la question telle qu'elle, mais il manque une précision assez importante dans celle-ci, vois-tu laquelle?)

[Anonyme]

Donc l'ensemble est de dimension 2.

Pour la précision je ne vois pas de quoi il peut s'agir a part peut être que les dimensions (les nombres ) doivent être rationnels.

[Nightmare]

L'ensemble "est de dimension 2" parce qu'on a besoin d'exactement deux paramètres rationnels pour le décrire.

Pour te faire remarquer ce qui manque à ce qui est en italique, je te propose un autre exemple sur la notion de dimension.

Prenons l'ensemble des quadruplets (a,b,c,d) où a,b,c et d sont disons des réels (si on avait pris des triplets, cet ensemble aurait été l'espace usuel). On remarquera que se donner 4 réels, c'est exactement la même chose que se donner 2 complexes (pourquoi?). Question : quelle est la dimension de cet espace de quadruplets?

[Anonyme]

Il faudrait préciser a quel ensemble appartiennent les paramètres.

Si les paramètres sont des réel alors il est de dimension 4 mais si il sont des complexes alors il est de dimension 2.
Dans le premier cas les 4 réel représentent respectivement a,b,c,d. Dans le second on pourrait par exemple dire Re(z)=a , Im(z)=b , Re(z')=c, Im(z')=d.

C'est ce que je voulais dire dans mon message précédant mais je me suis très mal exprimé.

[benekire2]

Salut, le premier je connaissais, le deuxième je suis pas sûr mais je me demande si j'en ai pas déjà fait un du genre où l'on cherche la limite de l'aire rouge pour un nombre d'étape tendant vers l'infini.
J'interprète "mesure" comme étant l'aire ( en plus ça m'arrange) et ici en faisant tendre le nombre d'étapes on devrait trouver quelque chose de sympathique. En plus il ne devrait pas être trop dure de définit une suite u(n) qui a l'étape n associe l'aire rouge.

C'est la bonne "conception" de mesure que j'ai ou pas ?

Salut :lol3:

PS. Qmath, si la notion de "dimension" t'intéresse je te conseille de te renseigner sur ce qu'est un espace vectoriel, puis ce qu'est une base d'espace d'un espace vectoriel et tu devrait comprendre peut être mieux pourquoi on parle de "dimension de nombres" .

[Nightmare]

Il faudrait préciser a quel ensemble appartiennent les paramètres.

Si les paramètres sont des réel alors il est de dimension 4 mais si il sont des complexes alors il est de dimension 2.
Dans le premier cas le_s 4 réel représentent respectivement a,b,c,d. Dans le second on pourrait par exemple dire Re(z)=a , Im(z)=b , Re(z')=c, Im(z')=d.

C'est ce que je voulais dire dans mon message précédant mais je me suis très mal exprimé.

C'est bien ça ! On parle de la dimension d'un espace sur un ensemble, parler de dimension intrinsèquement n'a pas de réelle signification. Bon donc notre espace Q[V(2)] est de dimension 2. Question, peux-tu m'en trouver une base ?

Edit : J'en profite pour te rajouter une question : Admettons qu'on remplace par un autre réel et qu'on obtienne que est de dimension finie. Que peux-tu alors me dire sur ?

Salut, le premier je connaissais, le deuxième je suis pas sûr mais je me demande si j'en ai pas déjà fait un du genre où l'on cherche la limite de l'aire rouge pour un nombre d'étape tendant vers l'infini.
J'interprète "mesure" comme étant l'aire ( en plus ça m'arrange) et ici en faisant tendre le nombre d'étapes on devrait trouver quelque chose de sympathique. En plus il ne devrait pas être trop dure de définit une suite u(n) qui a l'étape n associe l'aire rouge.

C'est la bonne "conception" de mesure que j'ai ou pas ?

Ok pour l'interprétation, disons que c'est la plus "naturelle" possible : pour mesurer un objet dans le plan, on peut calculer sa surface. Que vaut-elle alors ici?