Comment montrer qu'un ensemble est ouvert / n'est pas ouvert

[Georges10]

Bonsoir à tous,
Sincèrement, je rencontre d'énormes difficultés quand il s'agit de savoir si un ensemble est soit ouvert , soit non ouvert.
En fait ce qui me fatigue le plus est que je n'ai pas d'indice pour savoir si l'ensemble est ouvert ou n'est pas ouvert, et si ce n'est pas ouvert comment trouver le contre-exemple approprié. Et je n'arrive construire les problèmes dans mon esprit.
Par exemple , on donne A= {(x,y) ∈ R²: 1<x<3, y=0 }
Il est question de savoir si A est fermé/ouvert.

*voyons si A est fermé.
Soit (xₙ,yₙ) =( 1+1/n, 0) , ∀ n ∈ N, (xₙ,yₙ) ∈ A.
par passage à la limite on a lim (xₙ,yₙ) = (1,0) qd x tens vers +∞. comme (1,0) ∉ A donc A n' est pas un fermé.

*Voyons si A est un ouvert.
Là je ne vois pas comment faire.

Merci pour votre aide!

[LB2]

Intuitivement :

Un ensemble ouvert est un ensemble stable par petites perturbations. (penser à un intervalle ouvert)

Un ensemble fermé est un ensemble stable par passage à la limite (penser à un intervalle fermé).

En espérant que cela t'aide

[GaBuZoMeu]

Il est facile de faire un dessin de ton A. L'as-tu fait ?

[Georges10]

Il est facile de faire un dessin de ton A. L'as-tu fait ?

Oui oui . quand je prend un point (x,y) de R², je choisis r = min ( 1-x , 3-x ).
Maintenant il reste à savoir si tous les points de la boule B((x,y),r) sont dans A .
Mais en travaillant ainsi, c'est pour montrer que A est un ouvert, pour rien ne me dit ue c'est vraiment ouvert( et c'est ce qui me dérange ), je travaille sans savoir ce qui m'attend.

[LB2]

Sinon, pour montrer qu'une partie est un ouvert dans R^2, tu peux montrer que son complémentaire est fermé en utilisant la caractérisation séquentielle des fermés sur le complémentaire de A (même si ce n'est pas la méthode la plus élégante)
Ici, A n'est pas un ouvert de R^2

[LB2]

EDIT : Décidément je dis beaucoup de bêtises ce soir...

[Georges10]

Je veux savoir pourquoi c'est faux. Car un ensemble A est ouvert si pour tout x appartenant à A , il existe un ouvert qui contient x contenu dans A, autrement dit, il existe un réel r strictement positif tel que B(x,r) soit inclut dans A.

[LB2]

Au temps pour moi, ta définition est tout à fait juste, j'ai dit une grosse bêtise.

Ce qu'il faut préciser en revanche : A n'est pas ouvert dans R^2.
En effet, la notion d'ouvert/fermé dépend de l'espace topologique ambiant.

Ce que je voulais dire, c'est que A est ouvert dans A (tautologie), et également ouvert dans X

En revenant à ma définition intuitive de départ, il est facile de voir que A n'est pas stable par de petites perturbations dans la direction de l'axe des ordonnées (en fait, dans toute direction qui n'est pas celle de l'axe des abscisses). Donc A n'est pas ouvert dans R^2. Attention, cette heuristique ne remplace pas une preuve rigoureuse avec les voisinages ou les boules ouvertes.

[capitaine nuggets]

Salut !

; je te rappelle que est ouvert si quel que soit le point dans , on peut toujours trouver une boule centrée en contenue dans , ce qui revient à dire que l'on peut toujours trouver un rayon , tel que . Considère par exemple le point . Quel que soit le rayon , on peut trouver des points dans qui n'appartiennent pas à (par exemple le point ).

Ou encore, on a toujours l'inclusion . Or par définition, l'intérieur de est le plus grand ouvert contenu dans donc si est ouvert alors . Or donc cela impliquerait que , ce qui n'est pas le cas.

[Georges10]

Salut !

; je te rappelle que est ouvert si quel que soit le point dans , on peut toujours trouver une boule centrée en contenue dans , ce qui revient à dire que l'on peut toujours trouver un rayon , tel que . Considère par exemple le point . Quel que soit le rayon , on peut trouver des points dans qui n'appartiennent pas à (par exemple le point ).

je comprend parfaitement ton raisonnement.

Ou encore, on a toujours l'inclusion . Or par définition, l'intérieur de est le plus grand ouvert contenu dans donc si est ouvert alors . Or donc cela impliquerait que , ce qui n'est pas le cas

Excusez moi mais je veux savoir comment vous avez fait pour trouver int (A)=∅ . Tel que je comprend la chose , puisque A est le produit cartésien de deux ensembles, on fait int ]1,3[ x int ∅ je veux savoir si c'est ce que vous avez fait .

[Georges10]

Merci pour vos reponses jusqu'à maintenant.