Intersections de 3 plans, résolution analytique

[Anonyme]

Bonjour,
imaginons que l'on ait un système de 3 équations à 3 inconnues (3 équations de plans). Trois cas sont possibles : soit la solution est l'ensemble vide, soit elle est unique, soit il y en a une infinité (ce sont les 3 trois intersections possibles de 3 plans dans l'espace). Or si on est dans le cas d'une infinité de solutions, il faut introduire un paramètre pr résoudre le système. Comment le savoir à priori? Sans cela on ne peut pas résoudre le système, je me trompe? D'une manière générale, comment réagir face à un telle système?

[mathador]

Bonjour,
déjà une petite remarque sur le "3 équations à 3 inconnues", où tu précises entre parenthèses 3 équations de plan. Méfie-toi : une équation à 3 inconnues n'est pas forcément une équation de plan, par exemple z = x² + y² est l'équation d'un paraboloïde de révolution d'axe (Oz). Il y a pourtant 3 inconnues ...
à l'inverse, une équation qui n'a pas 3 inconnues peut être une équation de droite : la forme générale est ax + by + cz = d , mais si b=0 et c=0 par exemple, on a une équation de plan à 1 inconnue (variable plutôt qu'inconnue d'ailleurs). x = 5 est bien une équation de plan dans l'espace !
Sinon, face à un système comme décrit, on utilise la méthode de Gauss (attention à assurer l'équivalence des systèmes dans la rédaction ...). Elle est normalement vue en TS, et est bien présentée ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./g/gausspivot.html
Bravo Gauss quand même
Salutations

[cesar]

Bonjour,
imaginons que l'on ait un système de 3 équations à 3 inconnues (3 équations de plans). Trois cas sont possibles : soit la solution est l'ensemble vide, soit elle est unique, soit il y en a une infinité (ce sont les 3 trois intersections possibles de 3 plans dans l'espace). Or si on est dans le cas d'une infinité de solutions, il faut introduire un paramètre pr résoudre le système. Comment le savoir à priori? Sans cela on ne peut pas résoudre le système, je me trompe? D'une manière générale, comment réagir face à un telle système?

il y a un systéme tout bete : les matrices. Les trois equations de plan forment des équations du type a*x + b*y + c*z =d . dans votre cas, il y a trois équations. on peut donc en tirer une matrice faites dans la premiere colonne, avec les coefs de x, la seconde colonne avec les coefs de y, et la derniere avec les coef de z. Si le determinant de cette matrice est non nul, elle est inversible et on peut en deduire qu'une valeur unique pour x, y et z existe. si le determinant est nul, il y a deux cas possible.
1) une des colonnes de la matrice est la combinaison lineaire de deux autres.
(on peut extraire de la matrice 3X3 une sous matrice 2X2 de determinant non nul).
dans ce cas, on fixe la variable de la colonne comme parametre et on en deduit par la matrice 2x2 les deux variables restantes. Mais cela ne suffit pas à prouver la validité de la solution. vous avez extrait une matrice 2 X2, d'une matrice 3x3. Il reste obligatoirement une ligne "inutilisée" : remplacer les variables x,y,z de cette ligne par votre resultat, (il s'agit de l'équation d'une droite, vous verifiez seulement qu'elle est dans le plan correspondant à la ligne inutilisée). Cette methode n'est pas tres orthodoxe, car en pratique, il faut simplement verifier que "les determinants bordants sont tous nuls...", mais c'est un peu compliqué au lycee... bref si la droite n'est pas dans le plan = pas de solution..., sinon,une infinité de solution.
2) toutes les colonnes sont proportionnelles à l'une d'elle (on ne peut pas extraire de la matrice 3X3 une sous matrice 2x2 de determinant non nul). Geometriquement, les directions des plans vectoriels correspondants à vos plans affines sont ....les mêmes....
donc si
tous confondus = infinite de solutions, soit l'un deux ou deux ou bien 3 sont disjoints = pas de solution dans ces cas... c'est l'examen des coef constants de vos equations qui permettront de trancher.

[PaTaPoOF]

Euh.. si je peux me permettre, "le système tout bête" des matrices n'est pas vu en section S...

Sinon, je voudrais dire à "non inscrit" qu'il semble confondre intersections de plans et de droites et intersections de trois plans. Il n'y a bien que trois cas possibles pour l'intersection de trois plans mais qui sont les suivants :
- Aucun point (le système n'a pas le solution)
- Un point
- Une droite

Bon courage pour le bac :)

[evilangelium]

ou bien un plan si les trois sont confondus..

;)

[PaTaPoOF]

Effectivement j'aurais dû préciser "trois plans distincts" ;) Merci evilangelium

[cesar]

Euh.. si je peux me permettre, "le système tout bête" des matrices n'est pas vu en section S...

ils ne voient meme pas les matrices 3X3 et leur determinants ??? ça craind...

[PaTaPoOF]

Tu n'as qu'à écrire à l'éducation nationale, il y a sûrement un moyen de caser ça quelque part dans le programme de TS ;)
Par contre je crois qu'ils voient les matrices en 1ère ES... C'est peut-être plus utile en économie :confused: