Intersections plans

[sweetassbaby]

Bonjour,

Gros soucis avec l'un de mes exos,

Énoncé:

Les plans P,R et Q ont ouf équations:

P: 2x+3y-2z-2 = 0 et Q: 4x-3y+z-4=0
R: 2x+12y-7z-2=0

Étudier l'intersection de ces trois plans.
Retrouver ce résultat en résolvant un système.

Merci pour votre éventuelle aide.

Maria

[Noemi]

Bonjour sweetassbaby,

Vérifie si les vecteurs normaux des plans sont colinéaires ou non .

[pascal16]

suivant les résultats, on pourrai essayer de voir si
-> elle est vide (3 plans //)
-> c'est un point (cas le plus répandu statistiquement parlant)
-> une droite
-> un plan

si les vecteurs normaux sont coplanaires, on peut avoir les trois plans disposés de telle sorte que ça fasse une forme de prisme infini

[mathelot]

j'ai résolu le système et l'intersection des trois plans est une droite. Je serai curieux d'en voir une démonstration géométrique

On note que les trois vecteurs normaux sont coplanaires

[pascal16]

avec geogebra, on a une vue a peu près utilisable :



un vecteur directeur de la droite commune est normal à chacun des vecteurs normaux des trois plans d'origine.

[chan79]

j'ai résolu le système et l'intersection des trois plans est une droite. Je serai curieux d'en voir une démonstration géométrique

On note que les trois vecteurs normaux sont coplanaires

salut
Avec les deux premières égalités, on calcule x et y en fonction de z et on obtient
x=1+z/6 et y=5z/9
L'intersection des deux plans correspondants est la droite dont un système d'équations paramétriques est
x=1+k/6
y=5k/9
z=k
Il reste à donner deux valeurs à k, par exemple 0 et 18 pour obtenir (1,0,0) et (4,10,18) et on vérifie qu'ils satisfont la troisième égalité.

[sweetassbaby]

Bonjour,

Je viens de relever les vecteurs normaux à chaque plan et j'ai remarqué qu'ils n'étaient pas colinéaires, donc les plans sont sécants en une droite ?

[mathelot]

soient les trois vecteurs normaux.
l'espace vectoriel qu'ils engendrent est de dimension 2.
Il existe donc un vecteur non nul orthogonal aux trois vecteurs normaux,
donc dans le plan vectoriel

[sylvainc22]

Sur un autre site on t'avait dirigé vers le document pdf:
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc14/vt ... splans.pdf

Il explique visuellement les 7 cas possibles.

Bonjour,

Je viens de relever les vecteurs normaux à chaque plan et j'ai remarqué qu'ils n'étaient pas colinéaires, donc les plans sont sécants en une droite ?

Pas nécessairement. Si les 3 vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, il y a 3 cas,les numéros 5,6 et 7 du pdf.
- si les vecteurs ne sont pas coplanaires, l'intersection est un point, cas 7.
- s'ils sont coplanaires, l'intersection de chaque paire de plan est une droite. Il y a 3 paires, donc 3 droites qui sont forcément parallèles. Si elles sont en plus confondues, cette droite est l'intersection des 3 plans (cas 5) sinon pas d'intersection (cas 6, le genre de prisme infini mentionné pas pascal16 plus haut).