Géométrie analytique dans l'espace : Equations de droites et plans : Orthogonalité

[yoyomi]

SUJET DU DEVOIR

Bonjour,

Établis une équation cartésienne du plan comprenant M(3;0;-1) et perpendiculaire aux plans "pi" = 3x - 2y + z = 5 et "pi"' = 2x + 3y - z = 1.

OÙ J'EN SUIS DANS MON DEVOIR

J'ai noté les données et l'inconnue mais je n'ai aucune idée de la méthode à suivre. Pouvez-vous m'aider ? Merci

[Robic]

Bonjour ! Quand le problème est compliqué, on peut essayer de réflechir à partir des données, ou bien en essayant d'obtenir la fin. Faisons les deux :

1) Ce que tu peux faire immédiatement avec les données :

Est-ce que tu sais déterminer un vecteur orthogonal à un plan ? Normalement oui. Par exemple si un plan a comme équation, mettons, 2x-y+3z+4=0, alors le vecteur de coordonnées (2,-1,3) est orthogonal à ce plan. Tu le sais, n'est-ce pas ?

Donc tu peux déterminer un vecteur orthogonal à Pi, et un vecteur orthogonal à Pi'.

Or le plan recherché est perpendiculaire à Pi et Pi', du coup que peut-on dire de ces deux vecteurs par rapport au plan recherché ? (Ce sont deux vecteurs ******** du plan recherché.)

2) Essayons d'obtenir la fin :

Pour écrire l'équation d'un plan, comment fait-on ? Normalement, la méthode consiste à partir d'un vecteur orthogonal à ce plan et d'un point particulier. Par exemple si on sait que le vecteur de coordonnées (6,1,2) est orthogonal au plan, celui-ci aura une équation de la forme 6x+y+2z+c=0. Si de plus ce plan passe par le point de coordonnées (1,0,1), ce point vérifie l'équation : 6x1+0+2x1+c=0 donc c=-8. Voilà la méthode habituelle, que tu connais.

--> Donc il te faut un vecteur orthogonal à ce plan et un point particulier.

- Le point, tu l'as déjà.

- Le vecteur orthogonal, ça se trouve et avec un peu de bol, on peut l'obtenir en utilisant les deux vecteurs de tout à l'heure ? Essaie, tu verras bien...