Intersection plans

[kadaid]

Bonjour
Voici deux plans définis par leur représentation paramétriques et leurs équations cartésiennes

plan P1:
x=2s
y=-2t
z=2/3*s+2/3*t-2/3 t et s deux réels quelconques

x-y-3z-2=0

plan P2:
x=1/2*s
y=t
z=-s-t+1 t et s deux réels quelconques

2x+y+z-1=0

il est plus simple d'utiliser le systeme des deux équations cartésiennes pour l'intersection:
voici la droite d'intersection:
x=1/2*k
y=-7/4*k+5/2
z=3/4*k-3/2 k réel quelconques

Cependant j'ai trouvé sur internet une autre méthode programmée sur calculette en basic mélangeant la représentation paramétrique de l'un avec l'équation cartésienne de l'autre pour obtenir une droite d'intersection, je l'ai vérifiée avec deux points et ça marche mais j'ai voulu savoir si elle est valide dans le cas général.

Voici la méthode
On remplace les équations paramétriques de P2 dans l'équation cartésienne de P1:
1/2s-t-3(-s-t+1)-2=0
puis on résoud cette équation par rapport à s:
s=-2/7(2t-5)
Puis on remplace s dans les équations paramétriques de P2

x=20/7-8/7t
y=-2t
z=20/21-8/21t

Est ce que cette méthode est valide mathématiquement ?
Merci pour vos commentaires

[Ben314]

Salut,
Oui, c'est parfaitement valable et c'est en général le plus rapide pour calculer l'intersection de deux "trucs" : avoir les équations paramétrique de l'un et la(les) équation(s) cartésienne(s) de l'autre vu qu'il suffit de "substituer" pour avoir immédiatement la(les) équation(s) a résoudre.

Le problème, c'est que très fréquemment, on a soit deux équations cartésiennes, soit deux équations paramétriques donc on utilise pas super souvent cette méthode "dissymétrique".

Par contre, si l'énoncé te laisse le choix, comme par exemple de déterminer l'intersection d'une droite (AB) avec un plan (CDE) où A,B,C,D,E sont connus, tu as tout intérêt à déterminer les équations paramétrique de la droite et l'équation cartésienne du plan pour pouvoir ensuite substituer.