Intersection + Aire/Périmètre (GEOMETRIE)

[joliecoeur]

Bonjour tout le monde
J'aurais besoin d'aide pour un exo !
Voilà l'énoncé, et ce que j'ai déjà trouvé (pouvez-vous m'indiquer si c'est juste svp ?)

Soit un cube de coté 4 et I est un point du segment [CD].
On pose DI=x.
P est le plan passant par I, parrallèle au plan (ACG).

1° pour x= 1 , construire l'intersection de P avec les faces du cube. cette intersection est un polygone.
Calculer son périmètre et son aire.

2° Cas général. Le plan P coupe les faces du cube suivant un polygone.
Calculer son périmètre p(x) et son aire A(x) en fontion de x.

3° Donner les valeurs minimales et maximales de A.

Voici la figure :


En rouge, c'est le plan P.
Donc je vois bien que P est un hexagone.

1) Pour DI = X. Pour calculer son périmètre, j'ai calculer la taille de chacun de ses côtés (logique ^^), pour cela j'ai utilisé Pythagore dans chacun des "petits triangles" (DIJ, AJK, ICN, KFL, LGM, MHN), car on sait que DI = 1 donc CI = 4 - 1 = 3 . Apres je ne vois pas comment prouver que NH, MH, DJ, KF et FL, font eux aussi 1 .... vu que ça se voit direct sur la figure!
En conclusion je trouve que le périmètre du plan P est de 12(racine carrée de)2.

Pour l'aire, je me casse la tête dessus, mais je ne vois vraiment pas :/
J'avais penser à diviser l'hexagone en triangles, mais il n'est pas régulier, bref je bloque complètement! :help:

2) CAS GÉNÉRAL.
Là je n'arrive pas non plus à l'aire, mais je sais que je dois arriver à (racine carrée de)3 (-x² + 4x + 8) , car le prof nous l'a dit, et évidement je n'arrive jamais à ce résultat


Merci d'avance pour votre aide !
=)

[joliecoeur]

SVP, j'ai vraiment besoin d'aide ....
:)

[Ben314]

Bonsoir,

Pour tes "longueurs que je vois sur le dessin mais que je sais pas démontrer", je pense qu'il te faut utiliser astucieusement le fait que lorque deux plans parallèles coupent un même plan, les "droites de coupe" sont parallèles....

Pour trouver la surface de ton hexagone (non régulier), essaye d'utiliser le même type d'argument (parallèlisme) pour montrer que 3 des cotés de l'hexagone sont parallèles au trois cotés du triangle ACG et que les 3 autres sont parallèles à.... (je te laisse chercher).
Cela devrait te donner les angles entre les arrêtes de ton hexagone.
(Quand on ne connait que les longueurs des cotés d'un polygone, on ne peut pas en déduire sa surface [sauf pour le triangle] car il y a plusieurs dessins possibles).

Bon courage

P.S. de couper en triangles pour la surface, ca pourrait marcher...
Plus simple, coupe suivant le segment [JM] et démontre que tu as deux... trapèzes dont les aires sont assez faciles à calculer...
P.S.2 l'idée des trapèzes permet d'éviter le calculs d'angles dont je parle au dessus...

[joliecoeur]

Je vois bien les deux trapèzes.
La formule d'un trapèze c'est bien (b+B) * h / 2 ?
Si oui, je ne vois pas comment trouver B(grande base)(JM) et h(auteur) :S

[joliecoeur]

Je ne vois pas comment calculer l'aire des trapèzes! ??
Sinon avec les angles je ne vois pas comment faire non plus =/
J'y arrive vraiment pas avec le calcul de cette aire.......... :triste:

[Ben314]

Sauf erreur, la longueur JM est égale à AG et tu peut trouver la hauteur h car tu connait MN et IJ. (par contre, je ne vois pas la preuve au premier coup d'oeuil que JM=AG...)

Sinon, je vois (encore !!!) un autre méthode : graçe à tout les parallèlisme que tu doit avoir montré, j'ai bien l'impression que l'hexagone est en fait un triangle équilatéral dont on a coupé les bords (en enlevant des... triangles équilatéraux dont on connait le coté).
Cela semble encore plus simple (???)

[joliecoeur]

Ah oui si on prolonge les (grands) côtés de l'haxagone on a un grand triangle équilatéral, au quel il suffit d'enlever les trois petits!!
Cela me semble plus simple! ^^
Merci beaucoup pour ton aide :D