Intégrale

[egan]

Salut,
Est-ce que vous avez dejà vu des intégrales de ce genre ?

Ca a pas l'air bien compliqué à résoudre avec mais j'ai un doute. Faut-il changer les bornes ?

@+ Boris.

[Skullkid]

Attention au sens des objets que tu manipules... Le dx dans les intégrales est à prendre avec des pincettes.

"A la physicienne" on peut écrire que et on retombe sur nos pattes. Mais il y a quand même beaucoup de choses cachées derrière ce d. Plus rigoureusement, ce que tu fais n'est ni plus ni moins qu'un changement de variable.

Certains se font piéger à des oraux de maths pour avoir écrit un truc comme

[egan]

Ok merci. C'est juste ce que j'ai fait ?

[Skullkid]

Je suis pas sûr que tu aies bien compris mon post, m'enfin...

Ton résultat est juste, et d'ailleurs

[egan]

Si j'ai compris le bidouille de physicien. ^^
On écrit df(x)/dx=f'(x) donc df(x)=f'(x)dx.

[Skullkid]

Ouais mais ce que je veux dire c'est garde-toi bien d'écrire ça dans le cadre d'un cours de maths, parce qu'en maths df ça a pas le même sens. Donc tu croiseras jamais ce genre d'intégrales en maths.

[Ericovitchi]

Pourquoi bidouille de physicien ? la fonction différentielle est tout à fait proprement définie en mathématiques.
Et on peut tout à fait dire que ou que sans avoir peur de quoi que ce soit. non ?

[Skullkid]

Oui oui la différentielle est définie en maths, et au final tout se raccorde (sinon les physiciens n'écriraient pas df = f'(x)dx). Je dis juste qu'il est pas très prudent de faire des calculs sur des objets dont on ne connaît pas la nature. Je me trompe peut-être mais pour moi quand on écrit on intègre la forme différentielle df, et ça dépasse le cadre lycée.

La différentielle en maths ce n'est pas "un petit accroissement de la fonction". Tout ce que tu as écrit est correct, mais ce sont les calculs intermédiaires qui me posent problème.

[mathelot]

ce machin là a un nom en intégration, c'est "l'intégrale de Stieltjes"

on la définit pareil que celle de Riemann sur les fonctions en escalier,
seulement la mesure des bases des rectangles [a;b] vaut



quand la fonction qui définit la mesure est dérivable, on retrouve la formule
classique où dt est la mesure de Lebesgue (b-a)
de [a;b]

[Skullkid]

Ouais sauf que c'est encore des notations qui sont l'objet de raccourcis (légitimes, certes)... dans une intégrale de Stieltjes on a , donc on remplace dg(t) par g'(t)dt, c'est pas vraiment une égalité mathématique entre les deux...

Par contre l'égalité dg(t) = g'(t) dt est vraie au sens des différentielles, mais ça n'est pas trivial, et certainement pas démontré par quelque chose comme "g' = dg/dt donc dg = g' dt"

[Black Jack]

Autre approche:

Quand on trouve dt dans une intégrale, cela signifie que la variable d'intégration est t.

Quand on trouve dx dans une intégrale, cela signifie que la variable d'intégration est x.

Quand on trouve de^x dans une intégrale, cela signifie que la variable d'intégration est e^x.

Exemple:

S (e^x)² de^x = (1/3).(e^x)³
Immédiatement en considérant e^x comme variable d'intégration.

Ou autrement:
S (e^x)² de^x = S (e^x)² (e^x) dx = S (e^x)³ dx = S e^(3x) dx = (1/3).e^(3x) = (1/3).(e^x)³

:zen:

[egan]

Donc dans ce que tu viens d'écrire, on peut poser t=e^x et résoudre d'une manière classique non ?

[Black Jack]

Donc dans ce que tu viens d'écrire, on peut poser t=e^x et résoudre d'une manière classique non ?

Oui, ici c'est facile, mais ce n'est pas forcément toujours le cas.

S (e^x)² de^x
Poser e^x = t
Mais attention que alors : --> d(e^x) = dt

S (e^x)² de^x = S t² dt = t³/3 = (e^x)³/3

Attention que si on a affaire à une intégrale, de ne pas se planter dans les bornes.

Exemple:

S(de0à1) (e^x)² de^x = (1/3).[(e^x)³](de0à1)
Attention que la variable est e^x --> (1/3).[(e^x)³](de0à1) = (1/3)*(1-0) = 1/3

Par changement de variable.
Poser e^x = t
d(e^x) = dt
e^x = 0 --> t = 0
e^x = 1 --> t = 1

S(de0à1) (e^x)² de^x = S(de0à1) t² dt = (1/3).[t³](de 0à1) = 1/3

:zen:

[egan]

Ok donc dans ce cas là, tu ne changes pas les bornes.