Integrale de cos^4 (x)

[Euler911]

1/4 ( 1 + 2 cos 2x + cos(2x)^2)

[youyou2]

1/4 ( 1 + 2 cos 2x + cos(2x)^2)

cos(2x)² = cos (4x²) ?

[Euler911]

non!!!!! cos(2x)^2=1/2(1+cos(4x))!!!!!!!!!!! je t'ai donné la formule plus haut!!!!!:P

[youyou2]

Alors :

= ;)((1+cos;)2x)/2)^2 dx
= ;)¼ ( 1 + 2 cos(2x) +cos 2x)²) dx
= ;)¼ ( 1 + 2 cos(2x) +1/2(1 + cos (4x)) dx
= [¼ (x + sin(2x) + x/2 + 1/8 * sin (4x)) ]
=[ ¼ (3x/2 + sin(2x) + 1/8 * sin (4x)) ]



Là c'est parfait?!! lol

[Euler911]

C'est parfait:)

[youyou2]

C'est parfait:)

MERCI bcp Euler!!

C'est trop sympa pour toutes ses aides!


Je me suis un peu ridiculisé comme même! lol

[Euler911]

Mais de rien!:P

(n'oublie pas de donner la réponse finale: c-à-d calculer [¼ (3x/2 + sin(2x) + 1/8 * sin (4x)) ] de 0 à pi/4!)

[youyou2]

Mais de rien!:P

(n'oublie pas de donner la réponse finale: c-à-d calculer [¼ (3x/2 + sin(2x) + 1/8 * sin (4x)) ] de 0 à pi/4!)

On obtient :
3/8 * pi/4 + 1/4 * sin pi/2 + 1/32 * sin pi

= 3pi/32 +1/4

[Euler911]

parfait!!!

[mathelot]

Je voudrai savoir s’il ya une autre méthode que par les formules d'Euler :

intégration par parties ?

[Black Jack]

Je ne comprends pas l'intérêt de ce changement de variable! D'autant que ledit changement ne conduit pas à une expression plus facile à intégrer...

Tu m'étonnes, ce genre de primitive peut TOUJOURS être mise sous forme de somme de primitives de fractions rationnelles ou être ramenée à des primitives de fonctions élémentaires.

C'est parfois un peu long mais sans difficultés.

1/(1+t²)³ = 1/(1+t²) - t²/(1+t²)² - t²/(1+t²)³

pour S t²/(1+t²)³ dt, on fait cela par parties en posant : d dt/(1+t²)³ = dv et t = u ...

On arrive à S t²/(1+t²)³ dt = -(1/4) t/(1+t²)² + 1/4 S dt/(1+t²)²

pour S t²/(1+t²)² dt, on fait cela par parties en posant : d dt/(1+t²)² = dv et t = u ...

On arrive à S t²/(1+t²)² dt = -(1/2) t/(1+t²)² + 1/2 arctg(t)

On regroupe tout les morceaux et on a:

S 1/(1+t²)³ dt = (3/8)arctg(t) + (1/4) t/(1+t²)² + (3/8) t/(1+t²)

F(t) = (3/8)arctg(t) + (1/4) t/(1+t²)² + (3/8) t/(1+t²) est UNE primitive de f(t) = 1/(1+t²)³

Aux erreurs près.

:zen:

[Black Jack]

Poser tg(x) = t,
x = 0 --> t = 0
x = Pi/4 --> t = 1

on arrive alors à (voir message 9) :



On traite cette intégrale comme décrit dans le message 31

et on arrive à :







:zen:

[busard_des_roseaux]

Poser tg(x) = t

on arrive alors à:

Quelqu'un me donnerait la formule générale ? avec n.

merçi d'avance.