[TES] Intégrale - Exponentielle

[maksym8]

Bonsoir,

Je suis en Terminale ES, et mon professeur nous a donné un DM à faire sur les exponentielles. Nous venons tout juste de commencer les intégrales, et je pense que la question où je bloque a un rapport avec ces dernières.

Je vous donne l'énoncé :

Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d'usine.
L'évolution du taux de gaz dans l'air peut être modélisé grâce à la fonction f définie sur l'intervalle [0;infini[ par f(x)=2xe^(-x) où x est le nombre de minutes écoulées depuis l'accident et f(x) le taux de gaz dans l'air exprimé en parties pour million (ppm)

1) Limite de f en l'infini (Réussi : 0)

2) Calculer la dérivée et donner les variations de f(x) (Croissant jusqu'en x=1 puis décroissant)
a) Montrer que (-2-2x)e^(x) est une primitive (Réussi)
b) Calculer la valeur moyenne du taux de gaz (Réussi (je pense) : 0.27 ppm)

Enfin, la question où je bloque :

3) On considère que le gaz a un effet irritant pour l'organisme si le taux dépasse 0.65 ppm pendant plus d'une minute.
Déterminer si le personnel de l'usine a été affecté ou non par la suite, en explicitant la démarche suivie.


J'ai essayé de calculer f(x) > 0,65, pour trouver l'intervalle dans laquelle les solutions se trouvent
Mais j'arrive à xe^(-x) > 0.325, et je ne sais plus quoi faire, car je ne sais pas comment on se débarrasse d'une des 2 variables
En interprétation graphique, je dirais que ça n'a pas duré plus d'une minute, mais ce n'est pas totalement précis

Alors j'aurais voulu savoir comment résoudre ce genre d'équation, ou alors les moyens à utiliser (sachant que l'on vient de commencer les intégrales) pour réussir à répondre à la question

Merci d'avance
Maxime

[Dinozzo13]

Salut !

Etudie les variations de .
Il faudra probablement à moment donné utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que l'équation h(x)=0 admet une solution.

[maksym8]

Salut !

Etudie les variations de .
Il faudra probablement à moment donné utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que l'équation h(x)=0 admet une solution.

D'accord, mais comment prouver qu'il n'y a pas 1 minute avec + de 0.65 ppm ?
Parce qu'à part avec la calculette, je ne vois pas comment trouver les valeurs pour x=0