[Trinômes] : inéquations simultanées

[Boss_maths]

Bonjour à tous !

Je suis nouveau sur le forum et cherche à résoudre ce système d'inéquations simultanées avec un paramètre !

qui est vérifiée pour :

L'inéquation du bas, un trinôme paramétré, possède un discriminant :
qui, pour tout m, est toujours positif.
Elle a pour solutions : et
Son ensemble de solutions, suivant m, est :

Ce que je cherche à évaluer, pour terminer, c'est qui représente l'ensemble des solutions du système ?
Une piste, SVP, pour boucler cet exercice ?

Merci bcp,
@+ :lol3:

[sad13]

T'es sur la bonne voie, S1 inter S2 doit donner une condition sur x et m, ne penses tu pas?

[sad13]

t'es en quelle classe?

n'oublies pas que la deuxième ligne est <0 , fais un tableau de signes et ça va s'éclaircir

[Ben314]

Salut,

1) Si je cherche à prononcer , ça me donne : "S1 est l'ensemble des quelque soit x tels que..." qui ne veut clairement rien dire....
Ce qui est correct est : "S1 est l'ensemble des réels x tels que..."
Mais c'est trés con vu que ça s'écrit nettement plus simplement sous la forme : "S1 est la réunion des intervalles..."
Un autre truc correct serait :

2) Ton deuxième ensemble n'est juste uniquement lorsque . Si on a c'est faux.

3) Pour évaluer l'intersection de tes deux ensembles, il faut évidement savoir dans quel ordre sont rangés les réels , , et ce qui conduit à différentier plusieurs cas selon les valeurs de .

[Boss_maths]

@ sad13:
Je suis senior et au chômage... J'ai du temps pour faire un big rafraichissement !
Je travaille/étudie avec des livres de cours/exercices des années 60-70. J'utilise peu la calculette et parfois Geogebra. C'etait plus "corsé" que ce qui est enseigné de nos jours, du calcul beaucoup plus litteral, aussi je suis assez content de moi car mes efforts commencent à payer :happy3:

@ Ben314:
Merci pour la correction, je m'essaye aussi à la notation ensembliste, ceci expliquant celà. L'ordre de rangement des racines est très important, je le savais tout comme que x doit appartenir à ET . Je bûte sur le fait de pouvoir comparer entre elles et . En fait, les solutions, lorsque elles ne sont pas entièrement numériques, ne sont pas rangées. J'aurais pu tout aussi bien remplacer : par et c'était toujours vrai ?
Ceci dit, je cherche aussi/encore pour exprimer la solution...

Merci @+

[Ben314]

par et c'était toujours vrai ?

Non, ce n'est ps "toujours vrai".
Ce qui est vrai, c'est que :
SI (c'est à dire ) ALORS
SI (c'est à dire ) ALORS
Ce qu'il faut comprendre, c'est que, comme m est un "paramètre", les différentes solutions vont dépendre de m et que cette "dépendance" peut se traduire par le fait que l'ensemble des solutions que l'on trouve contient la lettre m (c'est bien le cas ici pour S2) mais aussi par le fait qu'il y a plusieurs cas différents selon que m est comme si ou comme ça.

Bon, concernant la fin de l'exo, je commencerais par résoudre les 4 inéquations ; ; et .
Une fois cela fait, tu sera en mesure d'écrire un certain nombre de phrases du type :
Si m est entre ? et ? alors les quatres réels ; ; et sont dans cet ordre ...<...<...<... donc
(pour cette dernière partie, le plus simple est de faire un dessin de l'axe réel et de hachurer les parties correspondante à S1 et à S2)

[Boss_maths]

Merci pour ta réponse. J'ai calculé, comme tu me l'a indiqué, les valeurs des 4 inéquations, mais je ne sais comment les utiliser !
, , , .
Comme j'étais un peu perdu, j'ai triché un peu en utilisant Geogebra, ce que j'évite de faire le plus possible...
- Remarques/résultats :
1) Le domaine d'étude de peut se limiter à . En effet, les variations de sont indentiques pour négatif. De plus, les valeurs de m n'influencent qu'une inéquation, en augmentant la distance entre les racines de manière symétrique par rapport à (à cause de )?
2) Le seul point/racine "mobile" de qui passe entre les racines fixes de l'inéquation du haut est c. Il coincide avec a pour et b pour environ.
J'en déduis tout simplement que pour ET . L'écriture ensembliste est bonne comme ceci, je parle de la forme ?
Pour le fond, renseigne moi aussi en tenant compte des valeurs que je t'ai donné pour préciser l'ensemble de la solution, si nécessaire. Je joins une petite illustration Geogebra (axe des réels) : http://cjoint.com/?2mlr7EgDpQq. Je me rends compte que manipuler des inéquations en système avec un paramètre n'est pas si facile ! Je persévère...

Merci et @+

[Ben314]

Bon, effectivement, on peut essayer d'utiliser les symétries pour diminuer le nombres de "cas" à étudier, mais on peut aussi... ne pas le faire et cela ne donne "que" 6 cas à considérer.

En fait, au niveau calculs, utiliser cette symétrie, ça consiste à voir qu'au lieu d'écrire que :
" si et si "
on peut écrire plus simplement que
" dans tout les cas"

Concernant ton "écriture ensembliste", c'est plus ou moins O.K., mais en fait, pour des ensembles, le "ET", ben c'est l'intersection donc ce que l'on peut écrire, c'est uniquement :
.

Bon, sinon, je m'était un peu gourré dans les inéquations à résoudre : il faut savoir ou sont situés 2-m et 2+m par rapport à 1/2 et -2/3 (et pas +2/3 comme je l'avais dit) :
, , , .
Ce qui fait qu'il y a 6 cas à considérer selon où est situé par rapport aux 5 nombres -8/3 ; -3/2 ; 0 ; 3/2 ; 8/3 (le zéro provient du fait qu'il faut savoir si 2+m>2-m ou pas)
Mais on peut n'en traiter que trois en utilisant "l'astuce" de la symétrie : il suffit alors de regarder ou peut être situé |m| par rapport à 3/2 ; 8/3.

Je te fait le début (sans utiliser l'astuce) :
CAS 1 : si alors on déduit des inéquations que donc (fait une droite représentant l'axe réeel et place les 4 valeurs 2-m , -2/3 , 1/2 , m+2 sur la droite pour visualiser)
CAS 2 : si alors donc
CAS 3 : si alors ... (attention, c'est un peu plus compliqué ici...)

[Boss_maths]

Bon, effectivement, on peut essayer d'utiliser les symétries pour diminuer le nombres de "cas" à étudier, mais on peut aussi... ne pas le faire et cela ne donne "que" 6 cas à considérer.

En fait, au niveau calculs, utiliser cette symétrie, ça consiste à voir qu'au lieu d'écrire que :
" si et si "
on peut écrire plus simplement que
" dans tout les cas"

Concernant ton "écriture ensembliste", c'est plus ou moins O.K., mais en fait, pour des ensembles, le "ET", ben c'est l'intersection donc ce que l'on peut écrire, c'est uniquement :
.

En tenant compte de tes propos ci-dessus, j'en déduis que :

Qui est la meilleure écriture abrégée de la solution et qui peut résumer toute la liste des cas ?

Bon, sinon, je m'était un peu gourré dans les inéquations à résoudre : il faut savoir ou sont situés 2-m et 2+m par rapport à 1/2 et -2/3 (et pas +2/3 comme je l'avais dit) :
, , , .
Ce qui fait qu'il y a 6 cas à considérer selon où est situé par rapport aux 5 nombres -8/3 ; -3/2 ; 0 ; 3/2 ; 8/3 (le zéro provient du fait qu'il faut savoir si 2+m>2-m ou pas)
Mais on peut n'en traiter que trois en utilisant "l'astuce" de la symétrie : il suffit alors de regarder ou peut être situé |m| par rapport à 3/2 ; 8/3.
Je te fait le début (sans utiliser l'astuce) :
CAS 1 : si alors on déduit des inéquations que donc (fait une droite représentant l'axe réeel et place les 4 valeurs 2-m , -2/3 , 1/2 , m+2 sur la droite pour visualiser)
CAS 2 : si alors donc
CAS 3 : si alors ... (attention, c'est un peu plus compliqué ici...)

Je poursuis...
CAS 3 : si alors donc
Symétrie : on permute les 2 racines en m pour avoir :
CAS 4 : si alors donc
CAS 5 : si alors donc
CAS 6 : si alors donc

Bon, j'espère que c'est tout bon !?
Merci pour ta patience et ton soutient :++:
@+