Inéquation sur une fonction

par **nitt** » 07 Mar 2007, 18:53

bonsoir,

j'ai une fonction g(u)=ln(1+u) -u + u²/2 définit sur [0,1]
Il faut en étudier les variations ; ce que j'ai fait.
je trouve g'(u)=1/(+u) - 1 + u.
g'(u) étant toujours >0, ma fonction g(u) est croissante.

jusque la tout va bien !

mais après, je doit en déduire que u - u²/2 <= ln(1+u)
comment faire ?
est-ce qu'il faut que je parte avec g(u) >= 0 ??

merci d'avance pour votre aide

nitt

par **fonfon** » 07 Mar 2007, 18:56

salut,
il faut que tu trouve le signe de ta fonction sur[0,1] en l'occurence il faut que tu montres que g(u)>=0

par **nitt** » 07 Mar 2007, 19:12

pour cela je peut dire que la fonction est strictement croissante et que g(0) et g(1) sont >1 donc g(u) est forcément >O ??

et du coup je peut écrire que u - u²/2 <= ln(1+u) ??

merci

nitt

par **fonfon** » 07 Mar 2007, 19:15

oui , tu sais que ta fonction est croissante sur [0,1] et que g(0)=0 et g(1)=ln(2)-1/2>0 donc g(u)>=0 sur [0,1] donc ln(1+u)>=u-u²/2

par **nitt** » 07 Mar 2007, 19:23

oki, c'estbon alors... merci beaucoup.

je reste sur le même post, la question d'après est très similaire.

il faut étudier les variation de h(u) = ln(1+u) -u + u²/4
je trouve h'(u) = 1/(1+u) - 1 + u/2
comment prouver que c'est négatif cette dérivé.
parce que une fois ca rouvé, je pourrai dire que h(u) est strictement décroissant et avec h(0)=0 et h(1)<0, alors je pourrai dire que h(u) est <0 et donc validé que ln(1+u)<= u-u²/4 (qui est la question suivante)

merci d'avance

nitt

par **nitt** » 07 Mar 2007, 19:28

en faite j'ai du me planter, parce que h(u) n'est pas strictement décoissant.
c'est bizarre parce que sur ma calto, jai h(u) décroissant puis croissant mais je n'ai pa h'(u) négatif et positif...

je me serai trompé dans ma dérivé?

du coup mon idée de raisonement est fausse.

par **fonfon** » 07 Mar 2007, 19:38

re,

moi je trouve

or c'est sur [0,1] que tu etudie la fonction donc:
sur [0,1] h'(u)<0( car c'est du signe de u-1) donc h est decroissante

comme h decroissante et h(0)=0 et h(1)=ln(2)-3/4<0 donc h(u)<=0 donc

ln(1+u)<= u-u²/4

par **nitt** » 07 Mar 2007, 20:17

bah j'ai regarder pourtant j'ai bien tout rentré dans ma calto. elle doit déconner... effectivement ca semble logique

merci pour ton aide

nitt

par **nitt** » 07 Mar 2007, 20:23

et alors avec les 2 résultats trouvé précedement (les 2 inéquation je suppose), il faut démontrer que, pour tout x, on a :
2x - 6/5x² + 3/50x^4 <= f(x) <= 2x - 6/5x² + 3/25x^4 !!!!!

pour info, f(x) est une fonction qui était a étudier en début d'exo et qui vallait f/f(x) = 2x - 6ln (1 + x²/5) (définie sur R)

je ne voit pas comment prouver cette double inégalité. D'ou est-ce que ca sort ces fraction 6/5, 3/50 ????

quelqu'un à une idée ??

merci d'avance

nitt

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