Incompréhension sur le chapitre de l'Arithmétique:

[Minineutron]

Bonjour, j'ai vu que de nombreux élèves avaient postés des messages concernant des incompréhensions au niveau du cours, et ce, à la suite.. alors je me permets de poser plusieurs questions sur l'arithmétique, où je bloque un peu .. :

- Division euclidienne dans N :

On suppose a appartenant à N, et b appartenant à N*.



On sait que (a+1)b>a. Donc (a+1)b est un entier naturel.
Et en dessous, j’ai a=bq+r et 0 «ra, qu'est-ce qu'on cherche à montrer ici ?
De même, Je ne comprends pas pourquoi le a prend toute la ligne? (voir schéma, le a qui se situe en haut de la ligne), et pourquoi on n'a pas de r sur cette ligne? (d'ailleurs, où se situerait-il?)
De même, pourquoi 0«r (a, 7)
(a,b) -> (b,7)?

- Recherche du PGCD par l'algorithme d'Euclide.
On a a=bq1+r1. 0«r1<b.
Donc r1= a-bq1. Pourquoi est ce que r1 est ici une combinaison linéaire de aet de b ? ....

- 2ème méthode pour rechercher le PGCD.

"On décompose les entiers en facteurs premiers puis on prend les facteurs communs avec la puissance la plus faible " Pourriez-vous m'illustrer cette phrase par un exemple? Je ne comprends pas trop :hein:

- Calculs en base:

Voilà j'avais à calculer cela en base 8, mais je ne vois pa scomment on fait popur trouver le résultat:

3045624
+ 34265
+ 62413
_______
3164524 ?

De même, une multiplication en base 7:

3406
x 524
_____
2515613 ?

et une différence en base 12:

;););)
-7;)8
____
3;)3 ?

J'espère avoir des réponses, et être plus éclairci après .. j'ai grandement besoin de votre aide :id:

Merci

[L.A.]

Bonjour.

1) je ne comprends pas le schéma : je pense qu'il faut lire plutôt b(q+1) > a
(on choisit q dans N tel que bq à n+6 sont espacés de plus de 7 termes : contradiction.

3) 1 divise tout entier a, car a = ax1
de plus a divise a, et si a app. à N* tout diviseur de a est inférieur à a, donc a est le plus grand diviseur de a.
(plus petit q et p) ca ne veut rien dire : ici on devrait avoir pgcd(a,b)
(je ne sais pas d'où vient ce cours à la noix)

4) ... je vais essayer de réexpliquer :
si a et b sont des entiers, et k est un diviseur commun à a et b, on peut écrire a = k a' et b = k b', avec a',b' entiers
si k n'est pas d = pgcd(a,b), a' et b' admettent encore des diviseurs communs > 1, donc ce n'est pas la "meilleure division". en revanche, si k=d alors a'^b' =1
(car si k'>0 divise a' et b', alors dk' divise a et b donc dk'<=d donc k'=1)

[L.A.]

5) posons a=4n+3 et b=5n+2.
on forme la combinaison linéaire au+bv avec u=5 et v=-4 afin d'éliminer les termes en n.
au+bv = 5a-4v = 5(4n+3)-4(5n+2) = 20n + 15 - 20n -8 = 15-8 = 7
on sait que si d divise a et b, alors d divise au+bv = 7
donc le pgcd(a,b) divise 7.

peut-être que tu ne vois pas ce qu'est une combinaison linéaire : c'est la somme d'un multiple de a et d'un multiple de b : par exemple 3a-7b, 18a+12b... en général : au+bv, u,v dans Z

6) posons a = 12 = 2²*3 et b = 42 = 2*3*7
les facteurs premiers communs sont 2 et 3 :
2 apparait à la puissance 2 dans a et 1 dans b
3 apparait à la puissance 1 dans a et dans b
On choisit pour chaque facteur 2 et 3 la plus petite puissance :
1 pour 2 et 1 pour 3.
donc pgcd(a,b) = 2*3 = 6

7) pour calculer dans d'autres bases il est important de savoir comment revenir à la base 10 :
3045624
+ 34265 en base 8 :
4+5 = 9 s'écrit 11 en base 8 (car 8 s'écrit 10 et 9=8+1)
je pose 1 et je retiens 1
2+6+1 = 9 s'écrit 11 : je pose 1 et je retiens 1 ...