[TS] Graphiquement évident

[benekire2]

Bonjour,

Petit exercice sur la continuité:

Soit f et g deux applications continues sur [a,b] telles que pour tout x de [a,b] f(x)<g(x)

Montrer que il existe un réel strictement positif tel que

Bon travail :happy3:

[Olympus]

Tiens, une petite occasion pour moi vu que je viens juste de terminer la leçon chez moi ^^

On pose .

étant continue sur ( somme de deux fonctions continues sur le même intervalle ), alors où et .

.



Donc notre existe, et c'est .

[Olympus]

Ha, oui, oublié de prouver que était strictement positif . Eh bien, il suffit de voir que pour tout de , on a , donc , d'où le résultat vu que est le minimum de .

[benekire2]

C'est ça , l'image d'un segment par une application continue est encore un segment. C'est comme ça que j'avais résolu l'exercice. Cependant je l'ai posé dans la section lycée ( d'abord parce qu'il est bien trop simple sinon) et il y une méthode à l'aide de la définition de la continuité (je l'ai pas écrite mais j'en suis presque sur), si tu veut tu peut chercher, ça devrait pas être trop dur pour toi :zen:

[Nightmare]

Je pense qu'on a pas trop le choix d'utiliser cette propriété, étant donné que c'est justement parce qu'on est sur un compact que ça marche.

[benekire2]

Oui, surement si tu le dit :zen: mais il y a peu être une "approche" possible, bien moins rigoureuse qu'on pourrait faire je pense.
Enfin, je pensais a un truc du genre montrer que les intervalles [f(x),g(x)] ont des longueurs minorées par k>0 ( cela dit c'est la même idée sauf qu'on peut pas invoquer le théorème) et de là même si c'est pas très carré je pense qu'on pourrait avoir quelque chose "d'acceptable" avec le fait que f est continue en a ssi lim_a f=f(a)

[Olympus]

Dans le même genre :

Soit une fonction de dans .

est continue sur et .

Montrer que :

.

:happy3:

( PS : pour ce qui est de refaire ton exercice avec la définition de la continuité, bof je suis pas trop calé dessus car je ne me suis pas trop intéressé aux définitions théoriques )

[benekire2]

non non je pensais pas a la définition théorique juste que f continue <=> lim_a f=f(a) , je verrais ce soir si on arrive a un truc "pas trop laid"

[Doraki]

Dans le même genre :

Soit une fonction de dans .

est continue sur et .

Montrer que :

.

:happy3:

Le plus dur c'est bien de montrer que f(0) = 0, il faut utiliser les 2 hypothèses de continuité ?

[Olympus]

Le plus dur c'est bien de montrer que f(0) = 0, il faut utiliser les 2 hypothèses de continuité ?

Oui en effet, la seule "difficulté" de l'exercice résidait dans le fait de prouver l'énoncé pour tout x de et pas seulement ( dans mon bouquin ils ont oublié ça et se sont contenté de ) .

On peut donc traiter les deux cas et et conclure ^^