DM Géométrie : théorème d'Al Kashi

[Tania07]

Bonjour,
J'ai un DM de maths et je galère sur cet exercice :
Théorème d'Al Kashi : Dans un triangle quelconque ABC, on a avec les notations de la figure :
a² = b² + c² - 2bc cosÂ
b² = a² + b² - 2ac cos^B
c² = a² + b² - 2ab cos^C

1) Soit un triangle ABC quelconque.
L'objet de cette question est de démontrer la première relation de ce théorème :
a. Vérifier \rightarrow BC = \rightarrow AC - \rightarrow AB.
b. Calculer \rightarrow BC² = \rightarrow BC . \rightarrow BC en utilisant la relation précédente et en déduire que BC² = AC² + AB² - 2AC x AB cosÂ

2) Dans le cas particulier d'un triangle ABC tel que  = \Pi /2, écrire et simplifier la première relation du théorème d'Al Kashi.
De quel théorème bien connu le théorème d'Al-Kashi est-il une généralisation ?

Voilà, n'ayant pas trouvé la réponse à la première question, je suis bloquée pour les autres. Merci de m'aider.

[hdci]

Bonjour,

En ce qui concerne

a. Vérifier \rightarrow BC = \rightarrow AC - \rightarrow AB.

Voulez-vous dire ceci ?


Vous n'avez pas réussi à montrer cela ? Il suffit d'appliquer la relation de Chasles.

[catamat]

Pour info si on tape (entre des balise Tex qui s'obtiennent en cliquant sur le bouton tex) ceci:

\overrightarrow {BC}^2 = \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{BC}

on obtient ceci :

[hdci]

... Ou en plus rapide : \vec{AB} donne quand on encadre avec les balises [tex ] et [/tex ] (sans les espaces)

[capitaine nuggets]

Salut !

La clé de la démonstration consiste à dire que, grâce à la relation de Chasles

.

Il suffit alors de développer le dernier produit scalaire comme on le fait avec les nombres réels pour obtenir



Je te laisse faire les calculs.

[Tania07]

D'accord merci beaucoup, et désolée je n'avais pas vu que mes vecteurs ne s'étaient pas mis correctement.

[Tania07]

Voilà, j'ai fais mes calculs et je trouve ceci :
1) a. D'après la relation de Chasles : + = donc :
= -
b. = -
= .
= ( - ) . ( - )
= ( - )²
BC² = (AC - AB)² * cosÂ
= AC² + AB² - 2 * AC * BA * cosÂ
2) On a respectivement d'après la figure : AC = b ; BC = a ; AB = c.
a² = b² + c² - 2bc * cosÂ
= b² + c² - 2bc * cos( \Pi /2)
= b² + c² - 2bc * 0
= b² + c²
Le théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore.

Voilà est-ce que mes calculs sont corrects ?