Géométrie - Similitudes

[benekire2]

Bonjour, en cherchant dans mon tiroir à exercices tordus, je suis tombé sur un exercice que je n'ai pas réussi à résoudre, et ce, depuis le début ... c'est pourquoi je sollicite une fois de plus votre aide.

On considère C1 le cercle de centre O de rayon 1. On construit un cercle concentrique C2 de rayon R compris dans ]0;1[ On place A et B sur C1 et on appelle a l'angle (OA,OB). On mène depuis A et B des tangentes à C1 qui touchent C1 en C et D. On appelle M le point d'intersection de ces tangentes. Enfin on construit h1 et h2 les cercles de diamètre OA et OB

Comme je suis pas fou, j'ai mis la figure :



Les questions :

1- Quel est le lieu du point C lorsque R décrit ]0;1[ ?
2- Démontrer que les points C,D et H sont alignés.
3- a- Calculer OH en fonction de a
b- Soit r la rotation de centre O d'angle a. Calculer les images de A et C.
c- Calculer OM en fonction de R et a.
d- Déterminer le lieu du point M lorsque R décrit ]0;1[

Alors pour la première c'est fait, c'est le demi cercle h1 .
Pour la 3-a et la 3-b c'est également fait.

Comment faire pour la 2 et les questions 3-c et 3-d ? Merci beaucoup !!

PS: La chasse aux angles n'a rien donné pour la 2 [en même temps je suis pas super fort à ça]

[Ben314]

Bon, déjà, je trouve l'énoncé "mal foutu" :
- A la question 1, on fait varier le rayon R et, évidement, si on veut avoir quelque chose comme résultat, il faut que A ne bouge pas alors que dans l'énoncé, on construit A aprés le cercle C2...
- Etant donné un point (A ici) extérieur à un cercle (C2 ici), il y a deux tangentes au cercle passant par A donc deux points C possibles. Lequel prend-on en compte lorsque l'on demande le lieu ? (pour que la réponse soit simple, il faut répondre : "les deux mon capitaine" !!!)

Pour les questions :
La 1) effectivement c'est fastoche vu qu'une tangente, c'est perpendiculaire au rayon.

Pour la 2), désespérément, je vois pas, mais, en réfléchissant bien, c'est peut être un peu lié au fait que je n'ais aucune définition pour le point H... :doh:

Si H est défini comme le point d'intersection autre que O des cercles de diamètre [OA] et [OB], il serait bon d'écrire que et de même que ... sauf que la réflexion par rapport à la médiatrice de [AB] envoie A->B, B->A et O->O ce qui montre que H est en fait... donc que les angles...

La 3)b) est une question "piège" : celui qui répond r(C)=D n'a rien compris vu qu'une fois C choisi, il y a deux point D possibles donc D ne dépend pas que de C (bon, soyons pas vache, pour un choix "cohérent" du point C et du point D on a bien r(C)=D)

Pour la 3)d),

[benekire2]

Salut ben :zen:

Le point H est le milieu de [AB], et concernant l'histoire des tangentes, ce sont les tangentes "non symétriques par rapport à (OH) " et comme l'énoncé est clairement chaud a faire, ils ont fournis la figure que j'ai fournit.

Voilà :)

mais je vois vraiment pas pour la 2 ...

[Ben314]

Si la def de H est "le milieu de [AB]" alors, il faut commencer par montrer que c'est le point d'intersection autre que O des cercles de diamètre [OA] et [OB].
C'est évident vu que OAB est isocèle et donc OAH et OBH sont ...
Ensuite, tu suis l'indic de mon premier post :

... il serait bon d'écrire que et de même que ...

[benekire2]

oui mais c'est bien avec les angles inscrits que je voulais résoudre. Sauf que je sais pas où il y a un truc qui foire.

J'ai:

(DC,DH)=(DC,CO)+(AO,AH)+(CH,DH) et j'arrive pas a avoir beaucoup mieux. Je ne vois pas quelle est la deuxième relation a écrire a part (DO,DH)=(BO,BH) mais ... je ne vois pas comment l'utiliser !

[Ben314]

Solution complète du 2) :
Comme H est le milieu du coté [AB] du triangle isocèle OAB, les triangles OAH et OBH sont rectangle en H donc H est sur le cercle de diamètre [OA] et aussi sur celui de diamètre [OB].
Les points O,C,H et A sont donc cocycliques donc
Les points O,D,H et B sont donc cocycliques donc
Donc

[benekire2]

effectivement ... j'avais tout sur la feuille mais j'ai pas réussi ... j'ai été mauvais :triste:

Pour la 3- d j'ai quelques idées, je pensais insérer une similitude de centre O qui transforme C en M de manière a avoir un lieu de point qui soit un cercle. Le problème n'est pas le rapport de la similitude qui est donné par la question précédente, mais sur l'angle...

Concernant ton indice, on trouve (MA,MB)=a mais je suis pas sûr de pouvoir l'exploiter par contre, du moins j'ai toujours po trouvé comment.

Pour la 3c il doit y avoir quelque chose que j'ai pas capté, je vois pas non plus (encore !!) de méthode concluante.

Merci encore :id:

[Ben314]

Bon, je reviens...
Déjà, je viens de réagir que, pour la 2), j'utilise la 3)a), ce qui est louche...
Donc voilà une autre solution :
(cocyclicité)
Or les triangles OCA et ODB sont directement isométriques (OA=OB +OC=OD + angle droit + Hyp sur l'orientation)
donc

Pour le 3)d) je complète l'indic :
on a donc...

Pour le 3)c), le triangle OCM est rectangle en C, on a OC=R et l'angle en O est a/2 donc...

[benekire2]

oui effectivement on utilise la 3b dans l'ancienne preuve... mais bon, j'ai envie de dire que tant qu'on y arrive on s'en fiche :zen:

pour la 3d j'ai trouvé , c'est con une fois qu'on a vu que (OA,OB)=(MA,MB) mais que je n'avais évidemment pas vu !!

Pour la 3c le truc qui m'embetait c'était CM ... et tu vient d'expédier la question en disant que (OC,OM)=a/2 ... mais j'ai j'ai envie de dire que c'est évident ... mais j'arrive pas à le prouver :hein:

En tout cas merci bien !!

PS: Avec "ma" méthode sur le 3d une fois qu'on avait le 3c et que on sait que (OC,OM)=a/2 ça revient au même ( on réutilise 3a aussi) !!

[Ben314]

(OC,OM)=a/2 car par réflexion d'axe OM, le cercle C2 est fixe donc l'image C' de C est sur C2 et, comme (MC) est une tangente à C2, (MC') en est aussi une donc C'=D et cela prouve que (OM) est bisectrice de (COD)
[c'est une propriétée "connue" des tangentes à un cercle : si on prend 2 tangentes à un cercle de centre O, elles se coupent en un point M tel que le dessin soit symétrique par rapport à la droite (OM)]

[benekire2]

en plus , je le connaissais d'avant puisque, il y a de ça un moment, j'avais traité la puissance d'un point par rapport à un cercle et c'était ... la première question de souvenir, et la plus chiante je m'en étais sortit par un raisonnement complètement alambiqué qui partait dans un délire sur les triangles semblables ...

J'ai une dernière question , qui concerne un autre problème.
On a ABCD et on défini A'B'C'D' comme sur la figure ... que voici:


Problème : Montrer qu'il existe une similitude qui transforme ABCD en A'B'C'D'

Y a-il une méthode pas trop longue ? Du moins qui ne fait pas 4 pages de calculs !

Merci (encore)

PS: en regardant de près ta preuve du 2, elle permet de zapper une partie de la 3d et de réduire encore un peu la résolution !

[Ben314]

Vu les angles droit, A' et C' sont sur le cercle de diamètre [AC] d'où (cocyclicité) soit encore .
Comme évidement les triangles OAC et OA'C' sont indirectement semblales.

De même pour les trois autres triangles et on conclue.

Edit : évidement, O est le point de concours des diagonales.

[benekire2]

.. non comment , je suis vraiment con ... en fait le livre disait de procéder par les complexes en considérant des réflexions et trouvé les affixes des projettés orthogonaux , une méthode barbare quoi ! Merci !!

Je posterais surement un petit exo sympa mais plus dur dans une autre section sur les similitudes, exercice classique, que j'ai résolu ( avec un peu d'aide toutefois) .