Géométrie Seconde - Bases.

[JuneMay]

Bonsoir à tous,
On nous a donné quelques exercices pour les vacances, et j'aurais aimé que quelqu'un m'éclaire sur un en particulier. Je bute à un endroit mais je ne vois pas pourquoi. Si quelqu'un se sent d'attaque.. :we:

a désigne un réel strictement positif.
Un parallélogramme ABCD est tel que AB = 2a et AD = a. Le point I est le milieu de [AB].
a) Quelle est la nature du triangle DAI ? (Je n'ai pas eu de problème pour la question là ^^)
b) En déduire que la droite (DI) est la bissectrice de l'angle ADC. (C'est ici que j'ai rencontré quelques difficultés. Je suppose qu'il faut faire différentes manipulations avec les angles, mais je ne vois pas lesquelles..)
c) Démontrer de que la droite (CI) est la bissectrice de l'angle BCD. (Même chose).
d) En déduire que CDI est un triangle rectangle.

Merci d'avance, si quelqu'un peut m'aider. Je ne suis pas pressée. Et, peut-être même que j'aurais trouvé d'ici là. Mais des explications seraient tout de même les bienvenues =D

June.

[rene38]

Bonsoir

Utilise les propriétés
- des angles à la base d'un triangle isocèle ;
- des angles alternes-internes formés par 2 droites parallèles et une sécante.

[oscar]

Bonsoir

Parallélograme ABCD tel que AB= 2a et AD = a
I milieu de AB; K miliieu de DC
tr. IAD et IBC isocèle 2c^=D1=I1= B2=K1=D2
=> DI bissectrice
idem pour CI
tri angle DIC rectangle en I car IK mediane relative à DC et IK=DK= KIl ya un cercle de centre K qui passe par DIC

[oscar]

Bonjour
DONNEES Parallélogramme ABCD tel que AB=2a et AD =a
AI=IB
RECHERCHE DI bissectrice de ^ADC etb CI de ^BCD
triangl) Soit K milieu de DC; DIC tr. rectangle en I
SOLUTION
1)Soit K milieu de DC
2) Tracer DI:KI:KB et IC
2) Trangles AED isocele ( AI=ID= a
De m^pour KCB
3) => ADE=^ AEC et4) DIKD parallélogramme => ^ADI = ^BKC= ^ABK= IDK
( alt int ou angles opposés d'vun parallelogramme)
Donc DI bissecxtrice de ^ ADK

De m^pour CI bissectrice de ^ KCB
4) I ; D; C sont sur le cercle decdiamètre DC, de rayon KD= KC=IK =a
Donc ^DIC triangle rectangle en I

[oscar]

Je vais tracer la figure

.........A_____________|___________B







D_____________K____________-C


Joindre AD;DI, IK; KB: IC;BC
Bien marquer les angles = et lles côtés = AI;IB:BC;KC:DK:AD;IK = a

Je t' enverrai une figure normale dès que possible

[JuneMay]

Merci à vous, j'y vois plus clair. Je vais tenter une esquisse de démonstration, afin d'avoir votre avis ^^

a) On sait que I milieu de AB
Donc IA=IB= 1/2 AB
D'où IA=a

Dans le triangle DIA, on a : AD = a et IA = a
Donc AD=IA
D'où DIA triangle isocèle en A.

b) Soit K, milieu de [DC]
ABCD parallélogramme, donc vecAB= vecDC
VecAI + vecIB = vecDK + vecKC
D'où vecAI = vecIB = vecDK= vecKC

Or si vecAI = vecDK alors AIKD parallélogramme.

Donc ^DAI = ^DKI
d'où ^ADI = ^AID = ^IDK = ^DIK
Donc (DI) est bien la bissectrice de l'angle ADK, puisque (DI) partage ^ADK en deux angles égaux ^ADI et ^IDK.

J'ai déjà ça ^^

EDIT :
Pour la c), c'est la même chose donc.
Pour d) j'ai travaillé à la médiane, ça revient au même. Ca me donne.

(IK) coupe [DC] en son milieu, donc (IK) médiane de DIA issue de I.
Or IK=KC=DK=a
D'où IK= 1/2 DC.

Or, si dans un triangle la médiane issus d'un sommet mesure la moitié du côté opposé, alors ce triangle est rectangle.
Donc DIC rectangle en I.

En gros, j'ai compris. Le problème maintenant c'est la rédaction. Donc soyez impitoyables x)

[rene38]

D'accord pour le a) mais tu ne réponds pas à la question b)

b) En déduire que la droite (DI) est la bissectrice de l'angle ADC.

Tu dois utiliser le résultat du a) : AID est isocèle en A.

[JuneMay]

b) Soit K, milieu de [DC]
ABCD parallélogramme, donc vecAB= vecDC
VecAI + vecIB = vecDK + vecKC
D'où vecAI = vecIB = vecDK= vecKC

Or si vecAI = vecDK alors AIKD parallélogramme.

Donc ^DAI = ^DKI
On sait que DAI est isocèle en A donc, ^ADI = ^AID.
De plus, on a IK = KD, donc IKD isocèle en K, et ^DAI = ^DKI.

d'où ^ADI = ^AID = ^IDK = ^DIK
Donc (DI) est bien la bissectrice de l'angle ADK, puisque (DI) partage ^ADK en deux angles égaux ^ADI et ^IDK.

J'ai rajouté ça, c'est plus cohérent maintenant ?
Merci encore =D

[rene38]

On sait que DAI est isocèle en A donc, ^ADI = ^AID.

Oui

mais ne te perds pas dans les vecteurs et autres parallélogrammes.
Pour montrer que [DI) est la bissectrice de il suffit de montrer que
Tu as montré que
Si tu montres que ton problème est résolu.
Revois mon premier message (n° 2)

[JuneMay]

D'accord, mais pour montrer que ^IDC = ^AID, il faut que je prouve que les droites (AD) et (IK) sont parallèle, non ?

EDIT : J'viens de comprendre. Je n'ai pas besoin des vecteurs. Il suffit que je dise que les côtés AI et DK sont paralléles et de même longueur, donc AIKD est un parallélogramme, et les droites (AD) et (IK) sont forcément paralléles.