Géométrie et produit scalaire

par **firewarrior** » 20 Mai 2007, 20:28

Bonsoir je montre quelques difficultées face a cet exercice, a un tel point que je suis bloqué qu'a la seconde question ^^. Si quelqu'un peut m'aider, qu'il n'hésite pas, merci d'avance.

Exercice :

Soit ABC un triangle équilatéral de coté a, O est un point quelconque, intérieur au triangle ABC. H est le projeté orthogonal de O sur (AB), I est le projeté orthogonal de O sur (BC) et J est le projeté orthogonal de O sur (AC).

Question 1:
Prouver que AO.AB= a*AH. Etablir des relations analogues pour BO.BC et CO.CA.

Question 2:
En écrivant AO=AC + CO, prouver que AO.AB + BO.BC + CO.CA = AC.AB + //BC//².

Question 3 :
a) en déduire que la somme des distances AH+BI+CJ prend une valeur constante k, indépendante de O.
b) Exprimer k en fonction de a.

Question 4:
a) Que représente a*OH pour le triangle OAB?
b) Prouver que la quatité OH+OI+OJ ne dépend pas non plus du point O. Exprimer cette quantité en fonction de a.
--------------------------------------------------------------------------
Mes résultats :

question 1:
AO.AB = AH*AB = a * AH
BO.BC = BI * BC = a * BI
CO.CA = CJ * CA = a * CJ

Question 2 : je n'y arrive pas, meme en y utilisant la question 1 et en remplaçant par les infos indiqués.

De meme pour la suite...

par **rene38** » 21 Mai 2007, 00:15

Bonsoir
Avec vraiment tous les détails : (Merci M. Chasles)

Pour la question 3, tu utilises ce résultat (en faisant intervenir un cosinus et AB=BC=AC=a) et le résultat de la question 1.

par **firewarrior** » 21 Mai 2007, 21:04

Merci pour ton aide, j'ai trouvé la question 1 et deux, en partie grace a toi. Ensuite la question trois, j'ai trouvé comme valeur constante 3/2a et donc que k= 3/2a.
Par contre la question 4 je n'ai pas trouvé, je pense qu'il y est question d'aire, mais je n'arrive pas pourrais tu m'indiquer coment faire merci!!!

par **Riemann** » 21 Mai 2007, 22:05

firewarrior a écrit:Merci pour ton aide, j'ai trouvé la question 1 et deux, en partie grace a toi. Ensuite la question trois, j'ai trouvé comme valeur constante 3/2a et donc que k= 3/2a.
Par contre la question 4 je n'ai pas trouvé, je pense qu'il y est question d'aire, mais je n'arrive pas pourrais tu m'indiquer coment faire merci!!!

OH est perpendiculaire à AB, car H est le projeté horthogonal de O sur AB.
tu as surement vu comment on calcule l'aire d'un triangle.

par **firewarrior** » 21 Mai 2007, 22:31

justement moi j'avais pensé que l'aire d'un triangle quelconque était calculée grace a la hauteur, avec la formule 1/2 base * h. Mais la on demande a * OH. A l'aide de la formule j'en déduit que l'aire est 1/2 a * OH.
Sa voudrait dire que a* OH = 2 fois l'aire du triangle OAB ???

Mais le plus gros probleme, c'est le petit b) la je ne vois pas du tout comment faire...

par **rene38** » 21 Mai 2007, 22:44

a* OH = 2 fois l'aire du triangle OAB ???

Mais oui !
De même a*OI = ..... et a*OJ = ....
Reste à additionner le tout, factoriser, ...

par **firewarrior** » 21 Mai 2007, 23:03

Ah d'accord merci :

pour le b) je trouve que a * OH = 2 * aire OAB
a * OI = 2 * aire OBC
a * OJ = 2 * aire OAC

Donc a * OH + a * OI + a * OJ = a(OH+OI+OJ)
Je m'arrete la ou je dis que il faut tout diviser par deux pour avoir l'aire du triangle entier ??? et donc en déduire que cela ne dépend pas de O....

par **firewarrior** » 22 Mai 2007, 11:39

bonjour j'ai tenté une autre méthode pour la ab) et je trouve un résultat possible :

j'ai fait a* OH +a*OI + a* OJ = 2 fois aire triangle ABC
Donc a(OH+OI+OJ) = 2 fois aire triangle ABC
Donc OH+OI+OJ = (2 fois aire triangle ABC)/a

Ensuite j'ai introduit la hauteur issue de A et donc qui coupe le coté BC en son milieu dans le triangle ABC.
Grace au théoréme de Pythagore, j'ai trouvé que AL = V1/2a² (avec V pour racine carré). Le point L est le pied de la hauteur donc le Milieu de BC.

Grace a cela j'ai remplacé dans la formule :

OH+OI+OJ = (2 * (base * hauteur)/2)/a
OH+OI+OJ = base * hauteur /a
OH+OI+OJ = a * V1/2a² /a
Afin de suprimer la racine carré j'ai tou mis au carré :
(OH+OI+OJ)² = a² * 1/2a² / a²
(OH+OI+OJ)² = (1/2a^4) / a² = 1/2 a²
Donc OH+OI+OJ = V1/2a²

Ai je bon ??? merci de me répondre a l'avance :)

par **Riemann** » 22 Mai 2007, 17:33

En effet, tu dois calculer la hauteur du triangle ABC en utilisant Pythagore, mais ton calcul est faux.
La hauteur AL est donnée par (AL)²=a²-(a/2)²

par **rene38** » 22 Mai 2007, 22:11

De plus, tout élève de collège sait que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté

mesure

par **Riemann** » 23 Mai 2007, 20:08

rene38 a écrit:De plus, tout élève de collège sait que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté mesure

c'est vrai, mais il faut le savoir démontrer, et son idée d'utiliser Pythagore était bonne, à mon avis, il a dû faire des erreurs de calcul.

par **anima** » 23 Mai 2007, 20:11

Riemann a écrit:c'est vrai, mais il faut le savoir démontrer, et son idée d'utiliser Pythagore était bonne, à mon avis, il a dû faire des erreurs de calcul.

Tout le monde n'a pas forcément entendu parler de trigonométrie avant de faire des calculs de hauteur... :hum:

par **Riemann** » 23 Mai 2007, 20:24

bon, j'avoue qu'en utilisant la trigonométrie, on obtient directement la hauteur.

par **anima** » 23 Mai 2007, 20:27

Riemann a écrit:bon, j'avoue qu'en utilisant la trigonométrie, on obtient directement la hauteur.

Je critiquais pas. Je disais juste que Pythagore vient en général avant la trigo... et que peu de gens pensent a la trigo, en général (j'ai le défaut inverse: je pense pas a pythagore, en général - et j'ai honte de ce que j'ai fait en physique ce matin. Un triangle isocele, et je calcule la longueur des 2 cotés avec de la trigo alors que la hauteur était donnée, ainsi que la base. 2 paragraphes alors que j'aurai pu le faire en 3 lignes)

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