Dm Géométrie et Dérivation

[Quartz]

Bonjour à tous! Vous pouvez m'aider à faire ce DM s'il vous plaît, je dois le rendre assez vite mais je n'avance pas. J'ai déjà fait la 1ère question, mais je n'arrive pas à faire le reste... :triste:

Voici l'énoncé :
On considère une sphère S de rayon 10 et un cylindre C inscrit dans cette sphère.
Soit x la demi-hauteur de C (C a pour hauteur 2x).

1. Exprimer la volume V(x) de C en fonction de x, sur un intervalle I à déterminer.
2. Déterminer la valeur du rayon pour laquelle le volume de C est maximal.
3. Déterminer l'équation d'une parabole, de la forme : y = x²+bx+c qui admet pour tangente : y = 3x-11 au point d'abscisse -5. (Indication : on déterminera d'abord les coordonnées du point de tangence.)

Merci d'avance !

[WillyCagnes]

bjr

Rc = rayon du cylindre
R =rayon de la sphère
x=demi-hauteur
on a R² =R²c +x² (triangle rectangle)

V(x)= Pi.R²c(2x)
V(x)=pi.(R² -x²)(2x) =2Pi.R².x - 2Pi.x^3

V(x) est max en calculant la derivée V'(x)= 2Pi.R² - 6Pi.x² =0

soit x= R/(racine(3)

or on a R² =R²c +x² =R²c + R²/3 =R²

d'ou Rc² = R²(1 -1/3) =2R²/3

et Rc = R.racine (2/3)

[Quartz]

Salut! j'ai fait ça aussi, mais d'une autre façon :

1) Formule du volume d'un cylindre : PI * r² * h.
On sait que h = 2x, donc V(x) = PI * r² *2x , x appartient a l'intervalle [-h/2 ; h/2].

r = (sqrt(10²-x²)) = 10²-x²
d'où V(x)= pi* 10-x² * 2x
V(x)= 100pi - pi*x²*2x
V(x)= -2pi*3 - 200pi

2) Le cylindre est dans une sphère de rayon R =10.

Soit (Oijk) un repère orthonormé a 3 dimensions, tel que O soit le centre de la sphère S et du cylindre C. Soit A le point d'intersection de la sphère est la base du cylindre. A appartient a la sphère et au cylindre .Soit le point B, le projeté orthogonal du point A, sur l'axe (Ok). Le triangle ABO rectangle en B.

d'après pythagore : AO² = AB² + OB²
or AO = R = 10, OB = 1/2*h = 1/2 * 2x = x. par ailleurs on as AB rayon du cylindre C donc AB = r
donc R² = AB² +x² et donc r² = R² - x² soit r = ;)(10² - x²) = ;)(100 -x²)

Donc on calcule la dérivée de V(x), ce qui nous donne V'(x)= pi*(-6x²+200), mais je ne sais pas comment faire le tableau de signes et de variation pour celle-là... enfin ça me donne des trucs bizarres...

[Quartz]

Aidez-moi s'il vous plaît!