GEOMETRIE DANS L'ESPACE

[mp33480]

Voici l'énoncé de mon DM :

Dans un repère orthonormé de l'espace (O,i,j,k), on considère les points A(10;0;0), B (0;10;0) et C (0;0;10).

Soit T le milieu du segment [AB].
S un point mobile sur le segment [AC].
On appelle (P) le plan perpendiculaire à la droite (ST) et qui passe par le point T
Ce plan (P) coupe la droite (OB) en un point V.

Déterminez la position du point S pour laquelle la longueur SV est minimale.


J'ai déjà fait tout le DM, et mon raisonnement est le suivant : il faut trouver une expression de SV avec pour seules inconnues les coordonnées de S (Xs;0;Zs).

Petit problème, durant mon raisonnement j'utilise AS=OV pour pouvoir remplacer Yv. Or je ne sais pas comment justifier cette égalité...
Second problème, j'utilise aussi le fait que Xs=10-Zs, et je ne sais pas non plus comment le justifier...

Merci d'avance pour votre aide.

[siger]

bonjour

il serait plus simple de t'aider si tu nous donnais ton "raisonnement" et les resultats que tu as obtenus..........

Dans le plan Oxz on a
droite (AC) de la forme z = mx+p qui passe par A et C donc z= -x + 10
donc si z = Zs ..........
le point V est defini par (en vecteurs) le produit scalaire nul puisque TV est dans le plan perpendiculaire a ST
TV.ST = 0
connaissant V(0,yv,0) , T( 5,5,0) et S (xs,0,zs) on obtient
TS.TV= .........

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Pour exprimer SV en fonction de xs et zs, j'ai d'abord utiliser pythagore puisque SVT est rectangle en T :

SV² = VT² + ST²
SV² = (xT-xV)² + (yT-yV)² + (zT-zV)² + (xT-xS)² + (yT-yS)² + (zT-zS)²
......
SV² = 100 + xs² + zs² - 10xs + yV² - 10yV

Pour remplacer yV² j'ai utilisé AS=OV
ce qui m'a donné : xs²-20xs+100+zs² = yV²

Pour remplacer -10yV j'ai calculé SV² = xs²+yV²+zs² et effectué l'équation avec la toute première forme de SV² :

xs² + yV² + zs² = 100 + xs² + zs² - 10xs + yV² - 10yV
-10yV = -100 + 10xs

Une fois yV² et -10yV remplacés, j'obtiens :
SV² = 100 + 2xs² + zs² - 20xs

Avec zs = 10-xs je peux remplacer zs et n'avoir que des "xs" ce qui donne :
SV² = 100 + 2xs² + 2(10-xs)² - 20 xs
...
SV² = 4xs²-60xs+300

Je regarde pour quelle valeur de x la fonction f(x) = 4x²-60x+300 est minimale ce qui me donne xs puis j'obtiens zs.

TS.TV = -5xs - 5yv + 50 ?

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Comment justifier que AS=OV ?

[siger]

re

1- TS.TV= xs + yv -10 = 0 par le produit scalaire
2- la droite AC a pour equation y = -x + 10 et par suite zs +xs= 10
d'ou zs= y v

TV ^2= 25 + (5-zs)^2 = 50 -10zs + zs^2
TS^2 = (5-xs)^2+ 25+ zs^2 =. 50 -10xs ء+xs^2+ zs^2
soit avec xs + zs = 10
SV^2 = 2zs^2 + xs^2 = ..........