Géométrie dans l'espace

[chombier]

Alors s'il y a bien un truc qui me laisse perplexe, dans le programme de TS, c'est la géométrie dans l'espace. C'est une espèce de méli-mélo de propriétés, de définitions et de théorèmes (dont la liste varie étrangement très variablement d'un livre à l'autre).

Petit exemple, le premier exercice du cours, ça parait simple mais je m'arrache les cheveux :

[INDENT]Soient deux plans parallèles et . Soit une droite parallèle à . Démontrer que d est parallèle à
[/INDENT]

Je ne remonterais pas à l'axiomatique de Hilbert, bien que je sois tenté, parce que je ne pense pas avoir le niveau (si quelqu'un veut se lancer, pour démontrer ça à partir de ses axiomes, je suis preneur bien évidemment.

C'est bien tentant d'inventer une propriété, du type : "si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre". Ça sonne bien, ça fait sérieux. Malheureusement ça ne me satisfait pas !!!

Reste à piocher dans la boite à outils des propriétés de mes livre

Je prends mon premier livre de TS (Transmaths / Nathan)

J'ai celui là qui peut aider : "Si une droite d est parallèle à une droite contenue dans un plan , alors d est parallèle au plan ".

Une possibilité serait donc de trouver une droite dans qui serait parallèle à d.

Je pars de ce que j'ai. Je sais que d est parallèle à . Je me reporte à la définition de mon livre, qui est "Dire qu'une droite et un plan sont parallèles signifie que soit est contenue dans , soit ils n'ont aucun point commun".

Ça ne m'aide pas beaucoup !! Impossible d'en tirer quoi que ce soit, comme l'existence dans le plan d'une droite parallèle à ...

Je prends mon deuxième livre de TS (declic / hachette)

Je retrouve les même propriétés, a priori inexploitables en l'état...


Évidemment, en cherchant sur internet, je trouve des tas de propriétés qui pourraient bien me servir, mais une fois de plus elles ne sont pas démontrées, et puis, comme je l'ai fait plus haut, si c'est ça je peux inventer directement une propriété ad hoc

En voici quand même quelques unes que j'aurais au moins pu trouver dans mon livre :

"Si une droite d est parallèle à un plan P , alors elle est parallèle à au moins une droite du plan P "

Tiens, surprise, je retrouve la propriété que j'ai "inventée" : Si deux plans sont parallèles, alors toute
droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

"Si deux droites sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'une est parallèle à l'autre"



L'autre question que je me pose, évidemment, c'est comment démontrer ces propriétés. Je suis prêt à me plonger dans l'axiomatique de Hilbert et observer à la loupe les démonstrations, mais impossible d'en trouver la moindre. C'est un comble !!!

[siger]

bonsoir

a partir de
"soient deux plans P1 et P2. Soit une droite(d) parallele a P1.
Demontrer que (d) est parallele a P2"
.....
axiomatique de Hilbert ou pas il faut etre devin pour demontrer quoique ce soit sur (d) et P2 !!!!!

[chombier]

C'est justement parce que ça paraît évident que c'est difficile à démontrer.

Soit tu l'admet, dans.ce cas rien a dire, mais on ne parle pas de démonstration, soit tu es plus exigeant et tu n'as pas d'autre choix que de partir d'autres propriétés dont la véracité ne fais aucun doute, ou de te baser sur une axiomatique solide, celle de Hilbert étant la référence.

Parce que mon impression c'est que ds propriétés comme celle ci, il y en a 36 a connaître pour s'en sortir, donc pour finir on les sort un peu de son chapeau.

[chombier]

En fait, pour être plus clair, c'est une question de démarche. Pour être honnête, le premier exercice ne demandait même pas de démonstration, juste une affirmation (ce qui est encore pire selon moi).

Mais si moi je cherche à justifier cette affirmation, la démarche logique c'est de reprendre le cours, relire les définitions, et chercher une propriété qui me permette d'affirmer que cette droite est parallèle à ce plan. C'est quand même très troublant de se rendre compte que le cours n'est d'aucune aide.

Qu'est-t-il attendu d'un élève de terminale dans ce cas ?

[chombier]

Bon en fait, j'ai parcouru les sujets de bac des années passées, il n'y a pas de géométrie autre qu'analytique. On a forcément un repère, des coordonnées et des équations de droite/plan.

Donc, forcément, on comprends mieux que la partie théorèmes généraux soit bâclés dans les manuels.

[siger]

re

ce n'est pas une question de théorèmes generaux......

les informations contenues dans l'enonce ( ou le manque d'information) sur P2 ne permettent pas de conclure que (d) est parallele ou non a P2

la question est du style de celle-ci:
un athlete courre le marathon en deux heures et demi
en courant, combien de temps mettra-t-il pour rentrer chez lui?

[chombier]

re

ce n'est pas une question de théorèmes generaux......

les informations contenues dans l'enonce ( ou le manque d'information) sur P2 ne permettent pas de conclure que (d) est parallele ou non a P2

la question est du style de celle-ci:
un athlete courre le marathon en deux heures et demi
en courant, combien de temps mettra-t-il pour rentrer chez lui?

Evidemment j'ai oublié un détail, presque rien, une petite chose. P1 est parallèle à P2. Dommage avec le mal que je me suis donné à rédiger mon message

[INDENT]Soient deux plans parallèles et . Soit une droite parallèle à . Démontrer que d est parallèle à
[/INDENT]

[chombier]

Et ce n'est pas parce que ça parait évident que c'est évident, j'espère que ça va de soi pour tout le monde.

Sinon des raisonnement comme (d1) est perpendiculaire à (d2) et (d2) est perpendiculaire à (d3) donc (d1) est parallèle à (d3) seraient justes (alors que c'est complètement faux dans l'espace)

[siger]

re

un detail?;)

[siger]

Evidemment j'ai oublié un détail, presque rien, une petite chose. P1 est parallèle à P2. Dommage avec le mal que je me suis donné à rédiger mon message

[INDENT]Soient deux plans parallèles et . Soit une droite parallèle à . Démontrer que d est parallèle à
[/INDENT]

un detail ? ;)

[siger]

Evidemment j'ai oublié un détail, presque rien, une petite chose. P1 est parallèle à P2. Dommage avec le mal que je me suis donné à rédiger mon message

[INDENT]Soient deux plans parallèles et . Soit une droite parallèle à . Démontrer que d est parallèle à
[/INDENT]

Re

Un "detail" oublié !!!

Il faut revenir aux definitions (axiomes) de base:
a-deux plans sont paralleles s'ils n'ont pas de point commun
b- une droite est parallele a un plan s''ils n'ont pas de point commun
c- deux droites sont paralleles si elles n'ont pas de point commun ET si elles appartiennent a un même plan

Soit un plan P et un droite (d) parallele a celui-ci
un plan Q contenant (d) et coupant P selon une droite (d1)
dans le plan Q les droites (d) et (d1) n'ont pas de point commun, elles sont donc paralleles
d'ou
b'- une droite est parallele a un plan si elle est parallele a au moins une droite du plan

Soit P un plan contenant (d) et coupant respectivement P1 en (d1) et P2 en (d2)
dans le pan P,
(d) et (d1) sont paralleles
(d1) et (d2) n'ont pas de point commun, elles sont donc paralleles
par suite (d) et (d2) sont paralleles a (d1) elles sont donc paralleles, ............


ou par l'absurde
(d) n'est pas parallele a P2, donc elle coupe P2 en M2 sur (d2)
dans le plan P,
(d2) coupe (d) en M2
(d2) coupe (d1) en M1
les plan P1 et P2 contenant respectivement (d1) et (d2) ont un point commun M1
mais ces plans sont paralleles, d'ou ........