Géométrie dans l'espace

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un DM de géométrie dans l'espace. Pouvez vous vérifier mes réponses svp
?

On considère un cube ABCDEFGH, AB = 4cm, I est le milieu de [FB] et J celui de [FG]?
1. Pourquoi les droites (HG) et (BA) sont elles coplanaires ?
(HG)//(EF) et (EF)//(BA) donc (EG) et (BA) sont coplanaires car parallèles.
Démontrer que HGBA est un parallélogramme.
(HG)//(BA) et HG = BA (arêtes d'un cube) d'où HGBA parallélogramme.
2. (a) Démontrer que (IJ)/(HA).
On considère le triangle FGB. On a :
I est le milieu de [FB] et J celui de [FG]
donc d'après le théorème de la droite des milieux,
(IJ)//(GB).
or (GB)//(HA) car HGBA parallélogramme.
d'où (IJ)//(HA)
(b) (HJ) et (AI) se coupent en K. Démontrer que K appartient à (EF) et que F est le milieu de [EK].
K appartient à (HJ) donc K appartient au plan (EFG).
K appartient à (AI) donc K appartient au plan (EFB).
Les points E, F, K appartiennent aux deux plans sécants (EFB) et (EFG) donc ils constituent la droite d'intersection de ces deux plans. Autrement dit, K appartient à (EF).
Doit on utiliser la réciproque de la droite des milieux pour montrer que F est le milieu de [EK] ? Dans quel triangle ?
3. Calculer HA, IJ, HJ et AI.
Pour HA.
On considère le triangle HDA rectangle en D. HD=DA=4 cm. D'après le th. de Pythagore, HA²=HD²+DA² soit HA²= 4²+4² = 32 d'ou HA= V(32) cm= 4V2 cm.

Pour IJ
IJ= 1/2 HA= 2V2 cm. (une des propriétés de la droite des milieux.)
Pour HJ
On se place dans le triangle rectangle HGJ. D'après Pythagore :
HJ²=HG²+GJ².
HJ²=4²+2²=20 d'ou HJ=V20=4V5 cm.
Pour AI
On fait de même. On trouve le même résultat.

Est-ce correct ?

[Ben314]

Salut,
Ca me parrait bien correct (sauf peut-être pour montrer que HGBA est un parallélogramme : deux cotés parallèles et de même longueur, c'est "presque" bon, mais il faudrait vérifier que le parallélogramme n'est pas "croisé")

Pour le 2)b), c'est effectivement le th. des milieux, par exemple dans AEK.

[Anonyme]

Merci !
Pour le 2.b) on peut donc écrire par exemple :
(FB) passe par le milieu I de [AK] et est parallèle à un deuxième coté [EA] dc elle passe par le milieu F de [EK]. (du troisième coté) ?
Mais je ne vois pas l'intérêt de la question d'avant !

[Anonyme]

Ça vous parait bon ?

[Anonyme]

Je dois ensuite calculer les volumes des pyramides HEAK et. JFIK et en deduire le volume du tronc de pyramide AEHJFI. Comment faire svp ? Pour HEAK, doit on multiplier l'aire du triangle isocèle HEA par 1/3 puis par EK ? Merci d'avance !

[Ben314]

Merci !
Pour le 2.b) on peut donc écrire par exemple :
(FB) passe par le milieu I de [AK] et est parallèle à un deuxième coté [EA] dc elle passe par le milieu F de [EK]. (du troisième coté) ?
Mais je ne vois pas l'intérêt de la question d'avant !

Je pense que ce n'est pas tout à fait bon : comment fait tu pour savoir que I est le milieu de [AK] ?
En fait, ce qu'on sait du point I, c'est que c'est le milieu de [BF] donc, dans le triangle AEK on a (AE)//(IF) et IF=(1/2)BF=(1/2)AE.
On peut en déduire que I est le milieu de [AK] et que F est le milieu de [EK]

Pour le volume d'une pyramide, c'est effectivement le tiers de la surface d'une base multiplié par la hauteur correspondante.

Effectivement, dans HEAK, si on prend comme base HEA, la hauteur correspondante est bien [EK] qui est perpendiculaire au plan (HEA)
Tu pourrait aussi prendre pour base HEK, la hauteur correspondante serait [EA] qui est perpendiculaire au plan (HEK)
Par contre, il vaut mieux ne pas prendre HKA comme base car la hauteur serait [EX] où X est le projeté orthogonal de E sur le plan (HAK) et on sait pas trop où il est...

[Anonyme]

Je pense que ce n'est pas tout à fait bon : comment fait tu pour savoir que I est le milieu de [AK] ?
En fait, ce qu'on sait du point I, c'est que c'est le milieu de [BF] donc, dans le triangle AEK on a (AE)//(IF) et IF=(1/2)BF=(1/2)AE.
On peut en déduire que I est le milieu de [AK] et que F est le milieu de [EK]

Pour le volume d'une pyramide, c'est effectivement le tiers de la surface d'une base multiplié par la hauteur correspondante.

Effectivement, dans HEAK, si on prend comme base HEA, la hauteur correspondante est bien [EK] qui est perpendiculaire au plan (HEA)
Tu pourrait aussi prendre pour base HEK, la hauteur correspondante serait [EA] qui est perpendiculaire au plan (HEK)
Par contre, il vaut mieux ne pas prendre HKA comme base car la hauteur serait [EX] où X est le projeté orthogonal de E sur le plan (HAK) et on sait pas trop où il est...

pour calculer l'aire du triangle isocèle on fait comment ? Et comment déduit on le volume du tronc svp ?

[Ben314]

Que tu prenne HEA comme base ou bien HEK, dans les deux cas, c'est un triangle rectangle donc l'aire et la moitié du produit les longueurs "qui touchent" l'angle droit.

[Anonyme]

D'accord. Mais je ne vois pas comment calculer le volume du tronc de cube...

[Ben314]

Ah, j'avais pas fait gaffe à cette question...
Peut être faudrait il dire que c'est une pyramide dont on a enlevé un morceau...