Géométrie dans l'espace DM

[Anonyme]

je bloque sur ce DM qui ne comporte qu'un seul exo mé qui est super dur(pour moi!!)

soit un cube ABCDEFGH
soit T un point au centre de la face ABFE
soit S un point au centre de la face EFGH
soit U un point mobile de la face BCEF
le but est de déterminer l'intersection du cube avec le plan (STU)
decrire toutes les étapes,les constructions,citer les propriétés utilisées

cube: H G
----------------------


E-----------------------F




D---------------------C


A-----------------------B

(mon cube é un peu mal fait mé jarivé pa a faire les traits droits!!c juste pour que vous voyé ou est-ce ke les points sont situés a peu pré!SVP aidé moi c tro HARD!!!)

[André]

U serait pas plutôt un point de BCGF et non BCEF

[André]

Supposons U un point de BCGF.
Posons L la longueur du côté du cube.
Je vais te montrer une méthode possible, simple et pas trop longue.
D'abord, je ne representerais pas ton cube de cette façon... En fait je le dessinerais sur ma feuille avec ABCD en bas et EFGH en haut (comme toi) mais avec les segments AB et EF "derrière" et les segments DC et HG "devant". Pourquoi ? Tout simplement pour que le repère (A, AD, AB, AE) soit orthogonal direct... car c'est celui-ci qu'on va utiliser pour définir les coordonnées de nos 11 points :
A : (0, 0, 0)
B : (0, L, 0)
C : (L, L, 0)
D : (L, 0, 0)
E : (0, 0, L)
F : (0, L, L)
G : (L, L, L)
H : (L, 0, L)
S : (L/2, L/2, L)
T : (0, L/2, L/2)
Posons U : (X*L, 0, Z*L) avec X et Z appartenant à [0 ; 1]
Toujours OK ?

On va déterminer les équations de tous nos plans intéressants.
On va commencer par les plus faciles, ceux qui contiennent les faces du cube.
Ils sont simples grâce au repère choisi.
Par ex, pour ABCD, c'est z = 0, car c'est le plan de tous les points où z = 0
On continue ?
EFGH : z = L, car c'est le plan de tous les points où z = L
ABFE : x = 0
DCGH : x = L
ADHE : y = 0
BCGF : y = L

Il faut ensuite déterminer l'équation du plan STU.
Il est, comme tous les plans de la forme ax + by + cz + d = 0.
Il faut trouver a, b, c et d.
Il y a une méthode simple : a, b et c sont en fait les coordonnées d'un vecteur normal au plan ("d'un" car il y en a une infinité).
Alors, quel vecteur pourrait être orthogonal au plan STU ?
Je propose TS^TU.
Nous avons :
TS : (L/2, 0, L/2)
TU : (X*L, L/2, Z*L - L/2)
Je te laisse calculer a, b et c, les coordonnées de TS^TU, qui dépendent de X, Z et L.
Il reste d : tu as l'équation du plan STU ax + by + cz + d = 0 où a, b et c sont connus. Il te suffit remplacer x, y et z par les coordonnées d'un point du plan STU (S par exemple) dans cette équation pour trouver d.

La suite est rapide !
Tu cherche l'équation de la droite qui est l'intersection entre une face du cube et le plan STU.
Prenons par exemple EFGH : son équation est z = L ; il te suffit de prendre l'équation du plan STU : ax + by + cz + d = 0 et de poser z = L ; tu auras alors effectivement l'équation de cette droite de la forme a'x + b'y = 0 ou y = px + q (comme tu veux !).
Il reste à faire de même pour les autres faces. Tu obtiendras des équations de droite du type a'x + b'y = 0, b'y + c'z = 0 ou a'x + c'z = 0.
Bonne chance !

[Anonyme]

je ne suis qu'en 1ere S!!!!g pa tro compri ton raisonnement c tro compliké!!!