Géomètrie 2nde : vecteurs.

[cleyz]

Bonjour tout le monde !

Voilà je viens de passer toute mon après-midi sur cet exercice de géométrie, j'ai répondu à quelques questions mais je suis coincé à quelques endroits.
Merci de me venir en aide.

Le nom de l'exercice est "Droite d'Euler dans un triangle. Calcul vectoriel. Configurations. Alignement.".

Voici l'énoncé suivit de mes réponses et de mes recherches : (vAB = vecteur AB.)

ABC est un triangle et O est le centre de son cercle circonscrit. A' est le mileu du segment [BC], B' celui de [CA] et C' celui de [AB].

A. Caractérisation véctorielle de l'orthocentre.

On concidère le point H définit par :
vOH = vOA + vOB + vOC [1]

1. Justifiez que vOB + vOC = 2vOA' [2].

2. Déduisez de la relation [1] que AH = 2OA'.

3. Démontrez alors que les droites (AH) et (BC) sont perpandiculaires.

4. De la même manière démontrez que la droite (BH) est perpandiculaire à la droite (AC).

5. Que réprésente le point H pour le triangle ABC ?

B. Droite d'Euler.

G désigne le centre de gravité du triangle ABC.

6. En partant de l'égalité vGA = (-2)vGA',
démontrez que : 3vOG = vOA + 2vOA'.

7. désuisez-en que 3vOG = vOH.

Aide : On utilisera la relation [2].

8. Déduisez-en l'alignement de O,G et H lorsque le triangle ABC n'est pas équilatéral.

9. Que peut-on dire des points O,G et H dans le cas où ABC est un triangle équilatéral ?


J'ai répondu aux questions 1., 2., et 5. du A et prouvé des choses pour la question 3. du A. mais le B je n'est pas réussi.

Voici mes réponses :

1. vOB + vOC = 2vOA' ?
Lorsqu'un un point I est le millieu d'un segment [AB], pour tout point M du plan on a : vMA + vMB = 2 * vMI.
De la même façon, on sait que A' est le milieu de [CB]. O est un point du plan donc on a : vOB + vOC = 2vOA'
2. On a vOH = vOA + vOB + vOC
alors vOH - VOA = vOB + vOC
vOA + vAH - vOA = vOB + vOC
donc vAH = vOB + vOC
Or on sait que vOB + vOC = 2vOA'
donc vAH = vOB + vOC = 2vOA'
d'où vAH = 2vOA'

Pour la 3. j'ai prouvé que vAH et vOA' était colinéaires et j'en ai déduis que (AH) // (OA') mais après je n'arrive pas à prouver que (AH) est perpandiculaire à (BC) et que (BH) est perpandiculaire à (AC).
Sinon pour la 5. j'ai trouvé que H était l'orthocentre du triangle ABC.
Et la grand B je n'ai pas réussi.

Voilà merci de m'apporter votre aide pour cet exercice.
Pendant ce temps je continue à chercher.

Merci beaucoup !

[fonfon]

Salut,

je sais pas si c'est plus rapide mais:(je ne mets pas les vecteurs)

1.
OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'C
OB + OC = 2.OA' + (A'B + A'C)
tu sais que A' est le milieu de [BC]

donc OB + OC = 2.OA'

2. certainement plus rapide egalement

OH=OA+OB+OC
OH=OA+2OA'
OH-OA=2OA'
AH=2OA'

3. Démontrez alors que les droites (AH) et (BC) sont perpandiculaires

tu as vu comme tu l'a dit que (AH) parallèle à (OA')
(OA') est la mediatrice de [BC] (A' milieu de [BC] et O centre du cercle circonscrit) donc (AH) perpend. à (BC)

4.essaie

5.Comme (AH) est perpendiculaire à (BC) donc AH est la hauteur du triangle ABC issue de A.
sur le même principe (BH) est la hauteur du triangle ABC issue de B.
de même (CH) est la hauteur du triangle ABC issue de C.

comme H est commun aux trois hauteur c'est l'orthocentre du triangle ABC

B.

6. tu utilises Chasles

GA = -2GA'
GO + OA = -2GO - 2OA'
3OG=OA+2OA'

7. désuisez-en que 3vOG = vOH.

Aide : On utilisera la relation [2].

3OG=OA+2OA'
tu a montré que 2OA' = AH
donc 3OG=OA+AH
3OG=OH

8. Déduisez-en l'alignement de O,G et H lorsque le triangle ABC n'est pas équilatéral

d'apres 7. comme 3OG=OH on a bien O,G et H alignés

9. Que peut-on dire des points O,G et H dans le cas où ABC est un triangle équilatéral ?

O,G et H sont confondus

sauf erreur

A+

[cleyz]

Merci beaucoup pour ton aide fonfon !
Je refait l'exercice en approfondissant les réponses que tu m'as fournit.

Par contre pour la A.4. on peut prouver que (B'O) est perpandiculaire à (AC) car c'est une hauteur mais j'arrive pas à voir comment prouver que (B'H) est perpandiculaire à (BO) pour ensuite prouver que (BH) est perpandiculaire à (AC).

Encore merci !!

[cleyz]

Quelqu'un pourrait m'aider svp ??

Merci !

[Emline9]

tu as 2 hauteurs qui se coupent au point H, donc H est .........