Formule de Taylor avec reste intégrale

[t.itou29]

Bonjour,
J'ai fait cet exercice et je me demande quelles peuvent être les applications (en terminale s) du résultat démontré:
Soit f une fonction de R dans R admettant des dérivées de tout ordre. Montrer que pour n dans N, on a:

J'ai cherché sur internet mais à part que ça donne une approximation de f en 0 par un polynôme j'ai pas trouvé d'exemples "concrets" de son utilisation. Quelqu'un pourrait m'en donner ? Merci

EDIT: finalement j'en ai trouvé un avec le développement en série de l'exponentielle mais si vous en avez d'autres, je suis preneur !

[Slaker]

Salut !
En terminale S, aucune, c'est à mon avis bien trop haut pour ce que l'on fait généralement en terminal.
Dans le supérieur, cette formule approche une autre formule de Taylor (les développements limités) et sert, comme tu l'as dit, à donner une approximation d'une fonction quand on tend vers un certain point (très souvent 0, mais pas que).

C'est très utile pour calculer des limites trop compliqués pour les outils de terminale, pour calculer des intégrales/primitives, ou même en physique pour transformer des expressions en d'autres expressions plus "utilisables".

C'est en gros les utilisations qui me viennent en tête, il y en a très probablement d'autres (la c'est les utilisations générales en sup/spe, je ne connais pas au dessus)
(par contre c'était un exercice de quel niveau ? Ca me semble bizarre de voir ça en terminal)

[Archibald]

Ben c'est-à-dire que l'étude de certaines fonctions peut s'avérer être un véritable casse-tête chinois, alors quand on vous dit que vous pouvez approximer la-dite fonction par un polynôme, vous êtes plutôt heureux.

[t.itou29]

Salut !
En terminale S, aucune, c'est à mon avis bien trop haut pour ce que l'on fait généralement en terminal.
Dans le supérieur, cette formule approche une autre formule de Taylor (les développements limités) et sert, comme tu l'as dit, à donner une approximation d'une fonction quand on tend vers un certain point (très souvent 0, mais pas que).

C'est très utile pour calculer des limites trop compliqués pour les outils de terminale, pour calculer des intégrales/primitives, ou même en physique pour transformer des expressions en d'autres expressions plus "utilisables".

C'est en gros les utilisations qui me viennent en tête, il y en a très probablement d'autres (la c'est les utilisations générales en sup/spe, je ne connais pas au dessus)
(par contre c'était un exercice de quel niveau ? Ca me semble bizarre de voir ça en terminal)

Si je comprends bien faut que j'attende la prépa pour voir des applications de cette formule (faut que je résiste à la tentation de jeter un coup d'oeil au programme et de le commencer !). C'est un exo d'un pdf de llg pour la transition terminal-prépa.

[t.itou29]

Ben c'est-à-dire que l'étude de certaines fonctions peut s'avérer être un véritable casse-tête chinois, alors quand on vous dit que vous pouvez approximer la-dite fonction par un polynôme, vous êtes plutôt heureux.

Ah ok, quand on peut se simplifier la vie

[Slaker]

Si je comprends bien faut que j'attende la prépa pour voir des applications de cette formule (faut que je résiste à la tentation de jeter un coup d'oeil au programme et de le commencer !). C'est un exo d'un pdf de llg pour la transition terminal-prépa.

Yep ! Je connaissais pas ce genre de transition, mais je trouve ça plutôt interessant ! (A condition bien sur de d'abord parfaitement maitriser le programme de terminal)

Et effectivement il faut attendre la prepa, même si cette formule n'a été utilisé que très peu de fois.
Les formules les plus utilisées sont les développements limités, qui découlent de la formule de Taylor Young

Quand x tend vers a.

[t.itou29]

Yep ! Je connaissais pas ce genre de transition, mais je trouve ça plutôt interessant ! (A condition bien sur de d'abord parfaitement maitriser le programme de terminal)

Et effectivement il faut attendre la prepa, même si cette formule n'a été utilisé que très peu de fois.
Les formules les plus utilisées sont les développements limités, qui découlent de la formule de Taylor Young

Quand x tend vers a.

J'ai entendu parlé de développements limités mais que d'ordre 1 avec les dérivées, là ça a l'air plus compliqué.
Je me demande à quoi ressemblent les exos de prépas: est-ce qu'ils sont plus proches des olympiades/concours général où c'est principalement de la réflexion et la recherche d'astuces ou alors c'est comme celui-ci (formule de taylor) avec un peu de réflexion et surtout du calcul ? (Ou complètement différent ?)

[Slaker]

J'ai entendu parlé de développements limités mais que d'ordre 1 avec les dérivées, là ça a l'air plus compliqué.
Je me demande à quoi ressemblent les exos de prépas: est-ce qu'ils sont plus proches des olympiades/concours général où c'est principalement de la réflexion et la recherche d'astuces ou alors c'est comme celui-ci (formule de taylor) avec un peu de réflexion et surtout du calcul ? (Ou complètement différent ?)

Je ne sais pas si c'est le bon endroit pour en discuter (vu qu'il y a une partie prepa sur le forum) mais bon, vu qu'on est lancé.

Pas mal d'exos demandent quand même de la réflexion, même quand il s'agit de calcul (heureusement en prépa x)). Je n'ai pas fais les olympiades ou le CG mais les exercices sont très variés, surtout selon le chapitre. Mais en général c'est vrai que ça demande de la réflexion, de la précision, et parfois des petites astuces de calcul auxquelles il faut penser.

[t.itou29]

Je ne sais pas si c'est le bon endroit pour en discuter (vu qu'il y a une partie prepa sur le forum) mais bon, vu qu'on est lancé.

Pas mal d'exos demandent quand même de la réflexion, même quand il s'agit de calcul (heureusement en prépa x)). Je n'ai pas fais les olympiades ou le CG mais les exercices sont très variés, surtout selon le chapitre. Mais en général c'est vrai que ça demande de la réflexion, de la précision, et parfois des petites astuces de calcul auxquelles il faut penser.

Ok merci, je vais essayer de maîtriser à fond le programme de lycée et puis il restera plus qu'à patienter !