Aide pour une énigme suites - récurrence reste division

[Egregia]

Bonjour, j'ai commencé "the longest game ever" qui est une application Android assez rigolote, et qui comporte des jeux et énigmes (par moments). J'ai un bac ES et un master en droit alors autant vous dire que mes mathématiques sont un peu rouillées. Néanmoins, pendant toutes ces années loin des maths, je n'ai jamais perdu le goût d'apprendre et de comprendre des explications mathématiques.

J'aimerais donc que vous me donniez un coup de main ou du moins me mettiez sur la bonne piste pour résoudre le problème suivant :

Une épidémie de "bosse des maths" frappe Maths Pays.
M(J) = m
J = nombre de jours, m = nombre de malades

On a :
M(1) = 1 (un malade le 1er jour)
M(2) = 14
M(3) = 43

à partir du 4e jour, M(J) est obtenu par "récurrence reste division par 2012 (entre 0 et 2011)" je ne comprends pas cette phrase selon l'expression 4M(J-1) - 5M(J-2) +2M (J-3)
ainsi
M(4) = 104
M (5) = 229
M (6) = 482
M (7) = 991
M (8) = 0
M (9) = 33

Il faut trouver M (2012).

Puis-je y arriver sans calculatrice ? Je n'arrive pas à comprendre comment joue cette suite.

Merci d'avance pour vos conseils, qui seront j'en suis sûre, d'une extrême utilité

Egregia

[fatal_error]

slt,

si tu prends par exemple M(4)
tu calcules avec la relation:
M(J)=4M(J-1) - 5M(J-2) +2M (J-3)
par exemple pour J=4, tu as
M(4)=4M(3) - 5M(2)+2M(1) = 4*43-5*14+2*1 = 104

Maintenant la phrase pourrie ca veut dire:
Imagines M(4) tu trouves 2015, ben tu prends le reste par la division par 2012:
2015=1*2012+3, donc le reste serait 3 et M(4) vaudrait non pas 2015 mais 3.

Ex:
Je l'appele T comme temporaire.
T(8)=4M(7) - 5M(6)+2M(5) = 4*991-5*482+2*229 = 2012
M(8) = T(8)%2012 (le modulo donne le reste par la division)
Donc M(8)=0

De même
M(9) = 4M(8) - 5M(7)+2M(6) = 4*0 - 5*991 + 2*482 = -3991
Or
-3991 = -2*2012 +33
Donc M(9)=33

[chan79]

Salut
Il y a des méthodes pour déterminer ces suites à triple récurrence
On obtient ici:

[chan79]

salut
Sans calculatrice, il y a sans doute une astuce; avec un tableur, on trouve facilement 116
Par ailleurs
M(n) est congru à modulo 2012