[SPE MATHS] Reste de 2^n dans la div. euclidienne par 5

[JeanValj]

Bonsoir à tous,

Alors voilà, j'ai un DM pour après demain à finir, et je bloque sur un petit truc...
Nous travaillons les congruences dans Z et les divisions euclidienne.

Question: Pour tout n, déterminez le reste dans la division euclidienne de 2^n (2 puissance n) par 5.

J'ai noté bêtement que 2n est congru à 2^n modulo 5. (2^n ;) 2^n (5))

Mais est-ce qu'il n'y a pas moyen de faire plus simple, de simplifier tout ça ?

Merci beaucoup pour vos réponses :) :)

[nodjim]

n=0 reste=1
n=1 reste=2
n=2 reste=4
n=3 reste=3
n=4 reste=1
Ensuite ça recommence cycle modulo 5.

Faut pas toujours chercher la complication.

[annick]

Bonjour,
pour moi, les deux seuls restes possibles sont 1 et 3.
En effet :

2 congru à 3 (5)
2^2=2x2, congru à 6, c'est-à-dire 1 (5)
2^3=2^2x2 congru à 3(5)
Etc....

[nodjim]

Non, 2 est congru à 2, ou -3 si tu veux.

[annick]

Ok, désolée

[JeanValj]

L'énoncé indique "le reste"... comment devrais-je donc rédiger la réponse si il y a plusieurs restes ?

[Frednight]

Tu commences par voir ce que te donnent les congruences pour les premiers termes :


Il semble qu'il y ait une récurrence pour . A toi de la démontrer

[nodjim]

Oui, cycle 4 bien sûr, et non cycle 5 comme je l'ai écrit trop vite.