Formule de gauss

par **cece89** » 19 Sep 2006, 19:31

Soit P= 2+4+6+8+...+2k

montrer que p=k(k+1)

soit I = 1+3+5+...+(2k+1) calculez p+i en déduire que i=(k+1)^2

je suis bloquée merci de votreaide

par **anima** » 19 Sep 2006, 19:34

cece89 a écrit:Soit P= 2+4+6+8+...+2k

montrer que p=k(k+1)

soit I = 1+3+5+...+(2k+1) calculez p+i en déduire que i=(k+1)^2

je suis bloquée merci de votreaide

Démontrer la formule de gauss...ouch. Tu as déja vu les raisonnements par récurrence? Si oui, tu pose que l'hypothèse k(k+1) est vraie, et tu pourras surement bâtir un raisonnement là dessus.

La deuxième, aucune idée. On formule les questions différemment ici.

par **zebdebda** » 19 Sep 2006, 19:36

Tu es en quelle classe ?
A priori il faut procéder par récurrence...

Sauf si ton prof t'as donnée le résultat 1+2+3+...+(k-1)+k = k(k-1)/2

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 19:38

Bonjour ? ca devient vraime une habitude dis donc :)

Sinon pour démontrer le théorème de gauss, ca se fait très bien avec le théorème XXX qui dit que au + bv = 1 <=> a
avec a et b premier entre eux! (soit dit en passant car tu dois faire de la récurrence !)

Bonne chance

par **cece89** » 19 Sep 2006, 19:55

je suis en seconde!

merci tout de même pour vos réponses!
théorème de gauss:

n= n(n*1)/2

par **zebdebda** » 19 Sep 2006, 19:56

Aye !!!
Votre prof ne vous a donnée aucune indication ?

par **zebdebda** » 19 Sep 2006, 19:58

cece89 a écrit:je suis en seconde!

merci tout de même pour vos réponses!
théorème de gauss:

n= n(n*1)/2

Heu non plutôt 1+2+3+....+n=n*(n+1)/2

Ainsi, pour n=2 : 1+2=2*3/2=3

par **cece89** » 19 Sep 2006, 19:59

non voilà ce que j'ai fait

p+i= 1+2+3+4+...+2k+2k+1

p+i= 2k+1 (2k+2)/2

i= (k+1)^2

mais dans mon cas c'est pas vrai

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 20:01

Ah, ce théorème de gauss !

Moi je te propose une méthode:

on considère deux fois la somme de 1 à n
1+2+3+4+5+6...+n
n+.....6+5+4+3+2+1

tu peux remarquer que le k-ième terme est égal au n+1-k-ieme terme de la deuxieme suite

Si tu sommes k et n+1-k, on trouve n+1

Or il y a n terme, et il faut diviser par 2 car deux suites

d'ou 1/2n(n+1)

Tu diras à ta prof que c'est pas du programme de seconde :) C'était un des genre d'exo que j'avais eu pour mon entrée en sup (même si c'est largement réalisable en premiere ou en terminal!)

Salut

par **cece89** » 19 Sep 2006, 20:08

je comprends pas...

p= 2 + 4+6+8+...+2k
i= 1+3+5+7+9+2k+1

p+I=1+2+3+4+5+6+...+2k+2k+1
p+I= 2k+1+2k+...+6+5+4+3+2+1
p+i= 2k+2+2k+2+2k+2+...+2k+2
p+i = (2k+1) (2k+2)
i= (2k+1) (2k+2)/2
mais ça fait pas (k+1)2

par **anima** » 19 Sep 2006, 20:09

cece89 a écrit:je suis en seconde!

merci tout de même pour vos réponses!
théorème de gauss:

n= n(n*1)/2

Je vais te faire ta démonstration. C'est pas de ton niveau, le raisonnement par récrrence, donc bon. T'aurais jms trouvé. C'est un exemple avant tout, tu vas devoir le bricoler pour ton énoncé précis. Dans mon exemple, on a la suite
o = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n
et une hypothèse: p=n(n+1)/2
On fait donc un raisonnement par récurrence.
1) Prouver que cela marche au rang 1:
On a n=1. o = 1. p=(1)(2)/2 = 1. Notre hypothèse marche au rang 1.
2) Prouvons que si la propriété marche au rang n, alors elle marche au rang n+1.
on a donc o' = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n + (n+1) et p'=(n+1)(n+2)/2
Remplacons 1+2+3+....+n par n(n+1)/2. On a donc
n(n+1)/2 + (n+1)
n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
= (n+1)(n + 2)/2
c.q.f.d.
3) Si la propriété marche au rang 1 (étape 1), alors elle marche au rang (2), alors elle marche au rang 3, etc... On a prouvé que la propriété est vraie pour tout rang n.

En espérant que ca t'aide. Tu reprends le même schéma, tu change juste les formules & polynomes.

par **zebdebda** » 19 Sep 2006, 20:13

N'essaye pas de faire la question 2 ! tu n'as pas réussi la 1 !

En fait bitonio te donnait une indic pour la 1re question (montrer que p=k(k+1)

Tu écris p de 2 façons différentes :
p = 2 + 4 + .......... + (2k-2) + (2k)
p = (2k) + (2k-2) + ... + 4 + 2

En faisant la somme verticalement, tu as :

p + p = (2k+2) + (2k+2) + ....... + (2k+2) + (2k+2), et il y a k termes
donc 2p = k*(2k+2)

par **anima** » 19 Sep 2006, 20:16

zebdebda a écrit:N'essaye pas de faire la question 2 ! tu n'as pas réussi la 1 !

En fait bitonio te donnait une indic pour la 1re question (montrer que p=k(k+1)

Tu écris p de 2 façons différentes :
p = 2 + 4 + .......... + (2k-2) + (2k)
p = (2k) + (2k-2) + ... + 4 + 2

En faisant la somme verticalement, tu as :

p + p = (2k+2) + (2k+2) + ....... + (2k+2) + (2k+2), et il y a k termes
donc 2p = k*(2k+2)

En gros il n'a qu'a virer tous les /2 de mon raisonnement par récurrence et de le recopier. Merci de pointer bien haut et fort cela :cry:

par **Nota-Bene** » 19 Sep 2006, 20:17

Comme 1ère participation je te donne ma solution pour la 1ère :

On a :2+4+6+...+2k=2(1+2+3+...+k) ,on sait bien que (1+2+3+...+k)
=k(k+1)/2

donc : 2+4+6+....+2k=2(1+2+3+....+k)=2.k(k+1)/2=k(k+1).

Bonne Journée !

par **zebdebda** » 19 Sep 2006, 20:21

Nota-Bene a écrit:on sait bien que (1+2+3+...+k)
=k(k+1)/2

Hum oui on le sait en terminale... pas en seconde !

par **zebdebda** » 19 Sep 2006, 20:22

anima a écrit:En gros il n'a qu'a virer tous les /2 de mon raisonnement par récurrence et de le recopier. Merci de pointer bien haut et fort cela

Oui anima ton raisonnement par récurrence est tout bon ! mais au niveau seconde il doit le faire d'une autre manière !

par **anima** » 19 Sep 2006, 20:23

zebdebda a écrit:Oui anima ton raisonnement par récurrence est tout bon ! mais au niveau seconde il doit le faire d'une autre manière !

Pas forcément. Une méthode est une méthode, et de plus c'est toujours bien de savoir cela (et surtout comment faire cela)

par **zebdebda** » 19 Sep 2006, 20:26

il l'apprendra en Tale !
Personne n'est capable en seconde de "deviner" comment on fait un raisonnement par récurrence !

Et il a un programme suffisamment chargé pour ne pas se plonger dans celui de Terminale !

par **anima** » 19 Sep 2006, 20:33

zebdebda a écrit:il l'apprendra en Tale !
Personne n'est capable en seconde de "deviner" comment on fait un raisonnement par récurrence !

Et il a un programme suffisamment chargé pour ne pas se plonger dans celui de Terminale !

C'est pas première, le raisonnement par récurrence? Oo je l'ai fait l'an dernier, perso (et la je suis en terminale).

Et si, pour gauss, il est possible de "deviner" un raisonnement par récurrence. Si on te donne l'indice du n+1, t'as fini en 5 minutes. Sans même savoir le cours.

Sinon, une méthode qu'il peut faire, la méthode des suites en cascade. Mais bon, une fois de plus, c'est des suites.

par **zebdebda** » 19 Sep 2006, 20:36

Oui c'est en terminale, et seulement en spé maths. Mais je vois sous ton pseudo que tu n'es pas dans une école en France ? ça expliquerait que tu l'aies déjà vu.
C'est trop compliqué (les élèves ne comprennent pas l'étape je suppose que et je continue") donc on ne le voit pas trop tôt.
Il faut vraiment être à l'aise avec les démonstrations : en sortant de 3ème on en est loin.

Formule de gauss

formule de gauss

Qui est en ligne