Fonctions

[lehder]

Bonjour tout le monde,

Voila, il est demandé de déterminer toutes les fonctions f continues sur tel que:



Comment y parvenir? Je ne sais pas comment commencer?

Et merci en tout cas.

[girdav]

Bonjour.
Il faut dans un premier temps résoudre l'équation fonctionnelle . On devrait trouver que puis la première condition doit permettre de trouver la valeur de .

[lehder]

Bonjour.
Il faut dans un premier temps résoudre l'équation fonctionnelle . On devrait trouver que puis la première condition doit permettre de trouver la valeur de .

Mais pourquoi f(x)=ax?

[Switch87]

Salut!
Tu t'attaques à un problème classique et intéressant!
Commence par remplacer x et t par des valeurs au hasard (1, 0, ...) et tu remarqueras des propriétés intéressantes des fonctions qui vérifient la propriété.

[lehder]

Salut!
Tu t'attaques à un problème classique et intéressant!
Commence par remplacer x et t par des valeurs au hasard (1, 0, ...) et tu remarqueras des propriétés intéressantes des fonctions qui vérifient la propriété.

OK MERCI

Je l'ai trouvé

[Switch87]

Je suis d'accord avec le résultat. Est ce que tu as réussi à démontrer l'unicité du résultat?

[lehder]

Je suis d'accord avec le résultat. Est ce que tu as réussi à démontrer l'unicité du résultat?

Non je ne sais pas comment? Est ce que c'est obligatoire?

[Switch87]

Hé oui!
On te demande "toutes les fonctions telles que...". Il faut donc que tu montres que celle là marche, c'est bien, mais il faut aussi montrer qu'aucune autre ne convient!
Est ce que tu as essayé de suivre mon conseil? Regarde en remplacant x et t par 0 et 0, par a et a, par a et 0, par a et 1, par a et -a... Il y a vraiment plein de choses à trouver dernière cette équation fonctionnelle!

[lehder]

Hé oui!
On te demande "toutes les fonctions telles que...". Il faut donc que tu montres que celle là marche, c'est bien, mais il faut aussi montrer qu'aucune autre ne convient!
Est ce que tu as essayé de suivre mon conseil? Regarde en remplacant x et t par 0 et 0, par a et a, par a et 0, par a et 1, par a et -a... Il y a vraiment plein de choses à trouver dernière cette équation fonctionnelle!

En remplaçant, je n'ai rien trouvé d'intéressant sauf que f est impair, f(x)=f(1)*x.

[Switch87]

Si tu as eu le f(x)=f(1)*x, tu as fini!
En écrivant f(1)=a, tu tombes sur ce d'où tu étais parti avant pour tomber sur f(x)=2009^2007*x.
Bien joué!

[girdav]

Oui, mais ceci se démontre rigoureusement pour réel.
Commence par trouver , puis pour , , et enfin .
Si tu as fait comme ça c'est correct.

[Switch87]

Bah oui, s'il a f(x)=f(1)*x pour tout x dans R, il a fini!

[egan]

Comment trouve-t-on ce résultat ?

[Switch87]

Il y a pas mal d'éléments de réponse dans tout le sujet, où est ce que tu bloques?

[egan]

J'ai remplacé à peu près tout ce qui peut être remplaçable mais je n'arrive pas à trouver le résultat. :briques:
J'ai trouvé que f(0)=0 et qu'elle est impaire comme dit plus haut.

[Switch87]

Tu as du obtenir f(0)=0, f(x)=f(1)*x pour tout x dans N, f(x) impaire...
Il faut maintenant passer à f(x)=f(1)*x pour tout x dans Q.
Bonne chance!

// oups!

[egan]

Pourquoi dans N ?
Ce n'est peut-être pas directement faisable pour x réel, c'est ça ?

[Switch87]

J'ai corrigé une erreur dans mon post :\

[egan]

Je ne comprends pas pourquoi on le fait d'abord pour N.

[Skullkid]

Comme l'a dit girdav, la résolution de l'équation fonctionnelle se fait en s'intéressant d'abord à l'image des entiers, puis rationnels, puis réels. f(x+1) = f(x) + f(1) est vraie pour tous les réels, mais je ne pense pas qu'on puisse en tirer grand chose quand x n'est pas entier.