TS: Fonctions.

[Anonyme]

Bonjour, voici un petit exercice.


Partie A:

Soit p la fonction numérique de la variable réelle x telle que:

p(x) = (3x² + ax + b) / (x² + 1)

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de p soit
tangente au point I de coordonnées (0;3) à la droite (T) d'équation y =
4x + 3.


Partie B:

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que:

f(x) = (3x² + 4x + 3) / (x² + 1)

1. Montrer que pour tout x réel, on a f(x) = A + (Bx / x² + 1)
A et B étant deux réels que l'on déterminera.

2. Etudier la fonction F.

3. Etudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport
à la tangente (T) au point I de coordonnées (0;3).
Démontrer que I est centre de symétrie de (C).

4. Construire la courbe (C) ; on prendra pour unité 2 cm.

5. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x telle que:

g(x) = (3x² + 4 |x| + 3) / (x² + 1)

Soit (C') la courbe représentative de g.
Sans étudier la fonction g, construire en pointillé la partie de (C')
non contenue dans (C). Justifier.



Partie A:

On veut que T, la droite d'équation y=4x + 3 soit tangente à p en I (0;3).


-> p(0) = 3.

-> Equation de la tangente:
y = f'(x0) (x - x0) + f(x0)


p(0) = (3*0² + a*0 + b) / (0² + 1)
=b

Or, on sait que p(0) est égal à 3 (puisque I appartient à la courbe ;
donc que ses coordonnées vérifient l'équation).

Donc b = 3.

p'(x) = [(6x + a)(x² + 1) - (2x (3x² + ax + b)] / (x²+1)²
= (-ax² + 6x + 2bx + a) / (x²+1)²



On sait que (T) d'équation y = 4x+3 doit être tangente à la courbe
repésentative de p.
Donc:

4x+3 = p'(x0) (x - x0) + p(x0)

Il faut que la droite soit tangente à la courbe en I, donc en x0 = 0.

p(x0) = 3
p(x0) = a

Donc:

4x + 3 = a (x - 0) + 3
4x + 3 = ax + 3
donc a = 4

p(x) = (3x² + 4x + 3) / (x² + 1)


(Comme par hasard ce qu'on retrouve dans la partie B ! :) ).


Partie B:

1.
A + (Bx / x² + 1) = (Ax² + A + Bx) / (x² + 1)

f(x) = (Ax² + A + Bx) / (x² + 1)

Identification:
Ax² 3x² => A = 3
Bx = 4x => B = 4
A = 3

Pour A = 3 et B = 4, on a bien f(x) = A + (Bx / x² + 1) pour tout réel x

2.
Etudier f(x).
Que dois-je faire exactement ?

Calculer sa dérivée ?
Si oui:
f'(x) = (4- 4x²) / (x² + 1)²

Je me suis arreté là.

3.
Je pense que je dois faire f(x) - y.
Puis dérivée le tout.
Ensuite faire un tableau de variation, mais n'en suis pas sûr.



5.
D'après moi, seule la partie appartenant à ]-oo ; 0] car x² et |x| > 0.

[Anonyme]

Alexandre wrote:

> Partie B:
>
> 1.
> A + (Bx / x² + 1) = (Ax² + A + Bx) / (x² + 1)
>
> f(x) = (Ax² + A + Bx) / (x² + 1)
>
> Identification:
> Ax² 3x² => A = 3
> Bx = 4x => B = 4
> A = 3
>
> Pour A = 3 et B = 4, on a bien f(x) = A + (Bx / x² + 1) pour tout réel x
>
> 2.
> Etudier f(x).
> Que dois-je faire exactement ?

Deriver, signe de la derivee, tableau de variations, limites, problemes
annexes...

> Calculer sa dérivée ?
> Si oui:
> f'(x) = (4- 4x²) / (x² + 1)²

Ben tu factorises le numerateur, tu etudies le signe, et tu en deduis les
variations... ca doit etre dans ton cours, non ?


> 3.
> Je pense que je dois faire f(x) - y.
> Puis dérivée le tout.

A priori, l'etude du signe de f(x)-T(x), ou y=T(x) est une equation de la
tangente, suffit. Peut-etre faut-il utiliser des "trucs bizarres" pour
l'etude de ce signe, mais ca m'etonnerait.

Pour la symetrie... un petit dessin.

> Ensuite faire un tableau de variation, mais n'en suis pas sûr.
>
>
>
> 5.
> D'après moi, seule la partie appartenant à ]-oo ; 0] car x² et |x| > 0.

Bof. Question bizarre. A la calculette ?

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

Nicolas FRANCOIS a écrit:

> Pour la symetrie... un petit dessin.

Euh... c'est un peu léger. Par contre Alexandre, il me semble que c'est
avec toi qu'on a récemment parlé de la symétrie ... non ?

http://minilien.com/?0eNGT0Ku6S

Normalement la méthode est là, mais si tu as besoin d'eclaircissements
sur un point précis, demandes

Quoique ici, la réponse à la partie A suffit en fait je pense

[color=green]
>>D'après moi, seule la partie appartenant à ]-oo ; 0] car x² et |x| > 0.
>
>
> Bof. Question bizarre. A la calculette ?[/color]

hein ? étant donnée la valeur absolue, on obtient la même courbe si x
positif, et si x négatif, on obtient une symétrie par rapport à l'axe x=0.

--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:
[color=green][color=darkred]
>>>D'après moi, seule la partie appartenant à ]-oo ; 0] car x² et |x| > 0.
>>
>>
>> Bof. Question bizarre. A la calculette ?[/color]
>
> hein ? étant donnée la valeur absolue, on obtient la même courbe si x
> positif, et si x négatif, on obtient une symétrie par rapport à l'axe x=0.[/color]

Je n'avais pas plus reflechi que cela, mais c'est par rapport a l'axe des y,
plutot, non ?

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

Nicolas FRANCOIS a écrit:
[color=green]
>>hein ? étant donnée la valeur absolue, on obtient la même courbe si x
>>positif, et si x négatif, on obtient une symétrie par rapport à l'axe x=0.
>
>
> Je n'avais pas plus reflechi que cela, mais c'est par rapport a l'axe des y,
> plutot, non ?[/color]

Oui enfin l'axe x=0 et l'axe des y ne sont pas fondamentalement
différents

--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:

> Nicolas FRANCOIS a écrit:
>[color=green][color=darkred]
>>>hein ? étant donnée la valeur absolue, on obtient la même courbe si x
>>>positif, et si x négatif, on obtient une symétrie par rapport à l'axe
>>>x=0.
>>
>>
>> Je n'avais pas plus reflechi que cela, mais c'est par rapport a l'axe des
>> y, plutot, non ?[/color]
>
> Oui enfin l'axe x=0 et l'axe des y ne sont pas fondamentalement
> différents [/color]

M...e, j'ai encore repondu trop vite

\bye, desole pour le bruit.

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

J'ouvre une petite paranthèse pour un nouvel exercice.
Je dois lui rendre demain, mais je n'est pas tout compris.

f est fonction définie sur ]-1 ; 1] par f(x) = x. rac( (1-x) / (1+x) ).
E1 sa courbe représentative.

a. Etudier la dérivabilité de f en 1.
b. Etudier les variations de f.
c. Donner une équation de la tangente à E1, au point d'abcisse 0.
d. Représenter graphiquement E1. Expliquer comment déduire la courbe E.

(Equation de E: (x-1)w² + (x+1)y² = 0).


a.
Je ne sais pas vraiment comment faire.
J'ai voulu montrer que la fonction est continue, mais, elle peut être
continue sans être dérivable, .. donc ça ne sert à rien.
Je pense qu'il faut faire:

Calcul de f'(a), puis de [f(a+h)- f(a)] / h

b.
Il faut calculer la dérivée.
Je trouve ceci:

f'(x) = (x² - 2x + 1) / [ rac.((1-x) / (1+x) ]

-1 est une valeur interdite et 1 une valeur pour laquelle f'(x) = 0.

x |-1_______________________________1
f'(x)| + O

f(x) | croissant.

Je ne sais pas si c'est bon, plusieurs se sont penchés sur le problème,
et nous trouvons tous une dérivée différente.

c.
y = f'(0) (x-0) + f(0)

d.
Je ne sais pas encore ..


Merci d'avance pour un rapide petit coup de pouce :)

[Anonyme]

Alexandre wrote:

> f est fonction définie sur ]-1 ; 1] par f(x) = x. rac( (1-x) / (1+x) ).
> E1 sa courbe représentative.
>
> a. Etudier la dérivabilité de f en 1.

On calcule :

f(1)=0
(f(x)-f(1))/(x-1) = ...
qui tend vers ... quand x tend vers 1.

Donc...

> b. Etudier les variations de f.

f(x)=x rac(1-x/1+x)
=x.h(x)
où h(x)=rac(g(x))
avec g(x)=1-x/1+x

On commence par calculer la dérivée de g(x),
puis celle de h(x)
et enfin celle de f(x).

Quoiqu'il en soit, si la dérivée est :

> f'(x) = (x" - 2x + 1) / [ rac.((1-x) / (1+x) ]

f est dérivable en 1 et f'(1)=0, car f'(x) tend vers 0 lorsque x tend
vers 1. Attention! C'est un résultat que vous n'avez peut-être pas vu et
que vous ne verrez peut-être pas. Quoiqu'il en soit, il permet de
vérifier que vous obtenes un résultat cohérent avec la question a.

Au fait, quelle allure a la courbe E1 sur votre calculatrice ?

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

Benoit Rivet a écrit :

> Alexandre wrote:
>
>[color=green]
>>f est fonction définie sur ]-1 ; 1] par f(x) = x. rac( (1-x) / (1+x) ).
>>E1 sa courbe représentative.
>>
>>a. Etudier la dérivabilité de f en 1.
>
>
> On calcule :
>
> f(1)=0
> (f(x)-f(1))/(x-1) = ...
> qui tend vers ... quand x tend vers 1.
>
> Donc...[/color]

C'est ce que je voulais faire, mais j'ai eu quelques problèmes.

[color=green]
>>b. Etudier les variations de f.
>
>
> f(x)=x rac(1-x/1+x)
> =x.h(x)
> où h(x)=rac(g(x))
> avec g(x)=1-x/1+x
>
> On commence par calculer la dérivée de g(x),
> puis celle de h(x)
> et enfin celle de f(x).[/color]

Si je n'ai pas fait d'erreur, la dérivée est:

(-x² - x + 1) / (1+x²) * (rac. ((1-x) / (1+x))


f est dérivable en 1 et f'(1)=0, car f'(x) tend vers 0 lorsque x tend
vers 1. (Ça été vu, merci )


> Au fait, quelle allure a la courbe E1 sur votre calculatrice ?

Je me suis mis dans l'intervalle [-1 ; 1]
La courbe est strictement croissante.
La croube est quasi verticale au début, puis à l'approche de 0 devient
presque horizontale.

[Anonyme]

(Petit rappel du sujet):

Partie B:

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que:

f(x) = (3x² + 4x + 3) / (x² + 1)

1. Montrer que pour tout x réel, on a f(x) = A + (Bx / x² + 1)
A et B étant deux réels que l'on déterminera.

2. Etudier la fonction F.

3. Etudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport
à la tangente (T) au point I de coordonnées (0;3).
Démontrer que I est centre de symétrie de (C).

4. Construire la courbe (C) ; on prendra pour unité 2 cm.

5. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x telle que:

g(x) = (3x² + 4 |x| + 3) / (x² + 1)

Soit (C') la courbe représentative de g.
Sans étudier la fonction g, construire en pointillé la partie de (C')
non contenue dans (C). Justifier.





Les questions 1 et 2 sont faites, la question 3 me bloque toujours un
peu, la question 5 n'est pas compliquée je pense.

Pour le centre de symétrie, je n'arrive pas vraiment..

On avait dit ceci:
b = (f(a+x)+f(a-x))/2


Donc j'ai fait ceci:

Si I est centre de symétrie, alors:
3 = (f(0+x)+f(0-x))/2

Ensuite: je développe:

( f(0 + x) + f(0 - x) ) / 2
= (f(x) + f(-x)) /2
= [(3x²+4x+3) + (3.(-x)² + 4.(-x) + 3)] / 2
= (6x² + 6) / 2
= 3x² + 3

J'ai dû faire une erreur, mais je ne sais pas où.

[Anonyme]

Alexandre a écrit:

> Pour le centre de symétrie, je n'arrive pas vraiment..
>
> On avait dit ceci:
> b = (f(a+x)+f(a-x))/2
>
>
> Donc j'ai fait ceci:
>
> Si I est centre de symétrie, alors:
> 3 = (f(0+x)+f(0-x))/2
>
> Ensuite: je développe:
>
> ( f(0 + x) + f(0 - x) ) / 2
> = (f(x) + f(-x)) /2
> = [(3x²+4x+3) + (3.(-x)² + 4.(-x) + 3)] / 2
> = (6x² + 6) / 2
> = 3x² + 3
>
> J'ai dû faire une erreur, mais je ne sais pas où.

Et le dénominateur ??

--
albert

[Anonyme]

Alexandre a écrit :
> (Petit rappel du sujet):
>
> Partie B:
>
> Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que:
>
> f(x) = (3x² + 4x + 3) / (x² + 1)
>
> 1. Montrer que pour tout x réel, on a f(x) = A + (Bx / x² + 1)
> A et B étant deux réels que l'on déterminera.
>
> 2. Etudier la fonction F.
>
> 3. Etudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport
> à la tangente (T) au point I de coordonnées (0;3).
> Démontrer que I est centre de symétrie de (C).
>
> 4. Construire la courbe (C) ; on prendra pour unité 2 cm.
>
> 5. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x telle que:
>
> g(x) = (3x² + 4 |x| + 3) / (x² + 1)
>
> Soit (C') la courbe représentative de g.
> Sans étudier la fonction g, construire en pointillé la partie de (C')
> non contenue dans (C). Justifier.
>
>
>
>
>
> Les questions 1 et 2 sont faites, la question 3 me bloque toujours un
> peu, la question 5 n'est pas compliquée je pense.
>
> Pour le centre de symétrie, je n'arrive pas vraiment..
>
> On avait dit ceci:
> b = (f(a+x)+f(a-x))/2
>
>
> Donc j'ai fait ceci:
>
> Si I est centre de symétrie, alors:
> 3 = (f(0+x)+f(0-x))/2
>
> Ensuite: je développe:
>
> ( f(0 + x) + f(0 - x) ) / 2
> = (f(x) + f(-x)) /2
> = [(3x²+4x+3) + (3.(-x)² + 4.(-x) + 3)] / 2
> = (6x² + 6) / 2
> = 3x² + 3
>
> J'ai dû faire une erreur, mais je ne sais pas où.



Au passage, j'aimerai ajouter l'énoncé d'une deuxième exercice:
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x par:

f(x) = rac. (x³ / (1-x))

1 Dresser le tableau des variations de f.
2. Soit T1 la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un
repère orthonormal (O;i;j). Déterminer une équation cartésienne de la
tangente T à la courbe T1., au point d'abcisse 1/2. Tracer la courbe T1
et la droite T.

3. Sur le même graphique, tracer T2, courbe symétrique de T1 dans la
symétrie orthgonale d'axe ox.

4. Soit T = T1 u T2. Montrer que T a pour équation:
x (x² + y²) - y² = 0 (E).

T est appelé cissoïde de Dioclès.


(Je n'ai pas encore terminté le premier exercice, mais en jetant un coup
d'oeil sur le second, je n'ai pas tout compris).

[Anonyme]

>> ( f(0 + x) + f(0 - x) ) / 2

> Et le dénominateur ??
>


Oups ..

Après correction et vérification:

(f(x) + f(-x)) /2
= (6x² + 6) / 2(x²+1)
= 3*2*(x²+1) / 2(x²+1)
=3

Donc I est centre de symétrie.

Pour la 5:

"étant donnée la valeur absolue, on obtient la même courbe si x positif,
et si x négatif, on obtient une symétrie par rapport à l'axe x=0."

[Anonyme]

> Au passage, j'aimerai ajouter l'énoncé d'une deuxième exercice:
> Soit f la fonction numérique de la variable réelle x par:
>
> f(x) = rac. (x³ / (1-x))
>
> 1 Dresser le tableau des variations de f.
> 2. Soit T1 la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un
> repère orthonormal (O;i;j). Déterminer une équation cartésienne de la
> tangente T à la courbe T1., au point d'abcisse 1/2. Tracer la courbe T1
> et la droite T.
>
> 3. Sur le même graphique, tracer T2, courbe symétrique de T1 dans la
> symétrie orthgonale d'axe ox.
>
> 4. Soit T = T1 u T2. Montrer que T a pour équation:
> x (x² + y²) - y² = 0 (E).
>
> T est appelé cissoïde de Dioclès.

1.
Je calcule la dérivée de f(x) et trouve ceci:

f'(x) = x²(3 - 2x) / 2.(1 - x)². rac. (x³/(1 - x))

2.(1 - x)². rac. (x³/(1 - x)) >0

Donc:
x² (3 - 2x) = 0
x = 0
ou x = 3/2


x |_0______________3/2_______________
f'(x) | || - O +
| || |
f(x) | ||décroissant | croissant


Quand je regardela courbe sur la calculatrice, ce n'est pas du tout ça.

Pourtant la dérivée me parait correcte, .. je ne comprends pas.


2.
y = f'(1/2) (x - 1/2) + f(1/2)

y = 2x - 1/2

(Graphiquement, le dessin est correct, donc j'ai une "confirmation" en
ce qui concerne la dérivée).

3.

4.
Je ne comprends pas comment faire.



Merci d'avance .

[Anonyme]

Salut

Alexandre wrote:[color=green]
>> Au passage, j'aimerai ajouter l'énoncé d'une deuxième exercice:
>> Soit f la fonction numérique de la variable réelle x par:
>>
>> f(x) = rac. (x³ / (1-x))
>>
>> 1 Dresser le tableau des variations de f.
>> 2. Soit T1 la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un
>> repère orthonormal (O;i;j). Déterminer une équation cartésienne de la
>> tangente T à la courbe T1., au point d'abcisse 1/2. Tracer la courbe
>> T1 et la droite T.
>>
>> 3. Sur le même graphique, tracer T2, courbe symétrique de T1 dans la
>> symétrie orthgonale d'axe ox.
>>
>> 4. Soit T = T1 u T2. Montrer que T a pour équation:
>> x (x² + y²) - y² = 0 (E).
>>
>> T est appelé cissoïde de Dioclès.
>
> 1.
> Je calcule la dérivée de f(x) et trouve ceci:
>
> f'(x) = x²(3 - 2x) / 2.(1 - x)². rac. (x³/(1 - x))
>
> 2.(1 - x)². rac. (x³/(1 - x)) >0
>
> Donc:
> x² (3 - 2x) = 0
> x = 0
> ou x = 3/2
>
>
> x |_0______________3/2_______________
> f'(x) | || - O +
> | || |
> f(x) | ||décroissant | croissant
>
>
> Quand je regardela courbe sur la calculatrice, ce n'est pas du tout
> ça.
>
> Pourtant la dérivée me parait correcte, .. je ne comprends pas.
>[/color]

As-tu étudier le domaine de définition de f(x)? non !
donc comment peut-tu savoir si les valeurs pour lesquelles la dérivée est
nulle, sont cohérentes?

> 2.
> y = f'(1/2) (x - 1/2) + f(1/2)
>
> y = 2x - 1/2
>
> (Graphiquement, le dessin est correct, donc j'ai une "confirmation" en
> ce qui concerne la dérivée).
>
ca c'est OK

> 3.
>
> 4.
> Je ne comprends pas comment faire.
>

si tu fais une symétrie d'axe ox, quelle est l'expression de ta nouvelle
fonction?

>
> Merci d'avance .

[Anonyme]

>f'(x) = x²(3 - 2x) / 2.(1 - x)². rac. (x³/(1 - x))
>
>2.(1 - x)². rac. (x³/(1 - x)) >0
>
> As-tu étudier le domaine de définition de f(x)? non !
> donc comment peut-tu savoir si les valeurs pour lesquelles la dérivée est
> nulle, sont cohérentes?

f(x) = rac. (x³/(1-x))

Ensemble de définition:
[0 ; 1[
(Si x1,
(x³/(1-x)) est négatif, donc f(x) est impossible).

3/2 > 1
x |__0___________1__
f'(x)| O + |
f(x) | |croissant |

f(x) est strictement sur son ensemble de définition: [0 ; 1[.

4.
> si tu fais une symétrie d'axe ox, quelle est l'expression de ta nouvelle
> fonction?

T2: y2 = -rac. (x³/(1 - x))

T = T1 u T2

Donc on doit faire T1 + T2 ?

[Anonyme]

Alexandre wrote:[color=green]
>> f'(x) = x²(3 - 2x) / 2.(1 - x)². rac. (x³/(1 - x))
>>
>> 2.(1 - x)². rac. (x³/(1 - x)) >0
> >
>> As-tu étudier le domaine de définition de f(x)? non !
>> donc comment peut-tu savoir si les valeurs pour lesquelles la
>> dérivée est nulle, sont cohérentes?
>
> f(x) = rac. (x³/(1-x))
>
> Ensemble de définition:
> [0 ; 1[
> (Si x1,
> (x³/(1-x)) est négatif, donc f(x) est impossible).
>
> 3/2 > 1
> x |__0___________1__
> f'(x)| O + |
> f(x) | |croissant |
>
> f(x) est strictement sur son ensemble de définition: [0 ; 1[.
>[/color]
là ça marche. tu avais trouvé une dérivée nulle en x=3/2 mais vu que f est
défini sur [0;1[, tu te rends compte que cela n'a pas de sens.

> 4.[color=green]
>> si tu fais une symétrie d'axe ox, quelle est l'expression de ta
>> nouvelle fonction?
>
> T2: y2 = -rac. (x³/(1 - x))
>
> T = T1 u T2
>
> Donc on doit faire T1 + T2 ?[/color]
non, essaye de faire l'analogie avec une fonction connue.
par exemple si tu prends y²=x, comment exprimes-tu y?

[Anonyme]

> non, essaye de faire l'analogie avec une fonction connue.
> par exemple si tu prends y²=x, comment exprimes-tu y?

On a y = rac.(x) ou -rac.(x).

Ici, je dois faire:

y = rac. (x³/(1 - x)) ou -rac. (x³/(1 - x))

Donc:
y² = x³/(1 - x)

Ensuite, je fais le calcul suivant:
x(x² + y²) - y² = 0

En remplaçant y² par x³/(1 - x)

???

[Anonyme]

Alexandre wrote:[color=green]
>> non, essaye de faire l'analogie avec une fonction connue.
>> par exemple si tu prends y²=x, comment exprimes-tu y?
>
> On a y = rac.(x) ou -rac.(x).
>
> Ici, je dois faire:
>
> y = rac. (x³/(1 - x)) ou -rac. (x³/(1 - x))
>
> Donc:
> y² = x³/(1 - x)
>
> Ensuite, je fais le calcul suivant:
> x(x² + y²) - y² = 0
>[/color]

voila c'est bon tu as trouvé (E).


> En remplaçant y² par x³/(1 - x)
>
> ???

[Anonyme]

Ouf, merci, j'ai réussi.

Il ne me reste plus que la partie B.
Il s'agit de "l'interprétation géométrique".

I le point de coordonnées (1;0) dans le repère (O,i,j).
C est le cercle de diamètre [OI] et delta est la tangente à C au point I.
Soit D la droite passant par O de coefficient directeur t, t appartenant
à R.

1.
Déterminer les coordonnées de M tel que C n D = {O,M}. Déterminer les
coordonnées de M' tel que T n D = {O, M'}. Déterminer les coordonnées de
N tel que delta n D = {N}

2.
Montrer que OM' = MN (les vecteurs)

3.
Déterminer l'intersection de T et C.


D'après mon dessins, la droite delta est une droite d'équation y=1/2.
D est une droite d'équation y = tx

n connait T: y= 2x - 1/2

Mais je n'arrive pas à faire la première question, ..