Fonctions

[lafée]

La 3e loi de Kepler indique que, pour une planète du système solaire, le carré de la période de révolution P (en seconde) est proportionnel au cube de la distance au Soleil (en mètre). Autrement dit, il existe un réel k tel que P2=k×d3. La constante k est exprimée en s2·m-3.
Afin de modéliser le problème, on donne :

la période P en année terrestre ( P=1 pour la Terre) ;
la distance d en unité astronomique (1 U.A. = distance Terre-Soleil donc d=1 pour la Terre) ;
la constante k égale à 1 ;
la relation physique se ramène donc à l’égalité mathématique : P2=d3 .

Puisque les expressions sont toutes positives, on en déduit alors que P=d
​3 et que d=3P2

a) Calculer P pour d=1 puis d=4.
b) À l’aide la touche 3
​ de la calculatrice, calculer d lorsque P=8.
c) Interpréter les résultats obtenus

À partir de maintenant, on appelle P la fonction qui, à toute distance d, fait correspondre la période correspondante, notée P(d). En utilisant le tableau précédent, donner la valeur de P(1,52) et de P(5,2)

Pour contenir de l’eau liquide (zone d’habitabilité), on estime que l’on doit avoir 0,95⩽d⩽1,5 . Calculer P(0,95) et P(1,5).

a) Tracer la courbe représentative de P en fonction de d pour d compris entre 0 et 6.
b) Situer les différentes planètes et la zone d’habitabilité.

Cérès est une planète naine dont la période varie entre 4 et 5 années. Préciser par lecture graphique :
a) les deux planètes entre lesquelles elle se situe.
b) les distances d minimale (périhélie) et maximale (aphélie) au Soleil.