Fonctions

[Bouboun]

Bonjour, je n'arrive pas à faire l'exercice suivant. Merci de bien vouloir m'aider.

On considère une application de f de R dans R, telle que :
3.f(-x)+f(x) = 4x³ + 2x

a)Prouver que f est impaire
b)En déduire l'expression de f(x) en fonction de x

Pas de problème pour la question a), c'est la b) qui me pose problème, merci d'avance.

[nyafai]

Salut
à priori c'est le a qui est dur... pour la b tu as juste à remplacer f(-x) par -f(x)

[Bouboun]

alors j'ai du me planter au a) je pense le a) ca donne bien :

3.f(-x)+f(x) = 4x³ + 2x

f(x) = 4x³ + 2x- 3f(-x)

-f(x) = 4(-x)³ + 2(-x)-3(-(-x))
-f(x) = -4x³ -2x -3x
-f(x) = -(4x³ +2x+3x)
-f(x) = f(x) la fonction est impaire

[Bouboun]

Est-ce que quelqu'un sait si j'ai bon au a)?
et pour le b) ca fait donc f(x) = 4x³ + 2x -3f(x)
= 4x³ + 2x - 3(4x³ + 2x+3x )
= 4x³ + 2x -12x³ -6x -9x
= -8x³-13x-6

[Bouboun]

Quelqu'un aurait-il une réponse a mon probleme sil vous plait?

[c pi]

3.f(-x)+f(x) = 4x³ + 2x

f(x) = 4x³ + 2x- 3f(-x)

-f(x) = 4(-x)³ + 2(-x)-3(-(-x))

Ici la fonction f a joué les filles de l'air !

-f(x) = f(x) la fonction est impaire

Non, pour qu'elle soit impaire, il faut que -f(x)=f(-x).
Dans ton cas ce serait une fonction constante f(x)=0.

A partir de l'égalité 3.f(-x)+f(x) = 4x³ + 2x on peut

1) soit isoler f(x) comme tu l'as fait,
puis en déduire que f(-x) = -4x³ - 2x - 3f(x)
et que 3f(-x) = -12x³ - 6x - 9f(x)

2) soit isoler 3f(-x)
ce qui donne immédiatement 3f(-x) = 4x³ + 2x - f(x)

Ces deux expressions de 3f(-x) sont égales.
De leur égalité, tu peux tirer une expression de f(x) en fonction de x,
puis comparer facilement -f(x) à f(-x) pour conclure.

L'embêtant est que cette démarche répond d'abord à (b) puis à (a),
elle ne respecte donc pas l'ordre suggéré par l'énoncé.

On pourrait d'ailleurs arriver à la même expression de f(x) en fonction de x plus rapidement,
en supposant au départ que f est impaire et voyant ce que cela implique pour f(x) :
Avec f(-x) = -f(x), l'égalité initiale devient
3f(-x)+f(x) = -3f(x)+f(x) = - 2f(x) = 4x³ + 2x soit f(x) = -2x³ - x = -x(2x²+1)

[Bouboun]

Merci beaucoup beaucoup :happy2: