TS Fonctions

[Majaspique]

Bonjour,
Voici un exercice sur les fonctions avec lequel je rencontre quelques difficultés :

Soit la fonction définie sur par
Courbe de la fonction :


1. a. Déterminer la limite de en




car :





On pose




Est-ce que c'est bon ou j'aurais oublié une justification / mal exprimé une d'entre elles ?

b: Vérifier que, pour tout réel non nul, . En déduire la limite de en .









car :







De même, est-ce que la justification est correcte ? Surtout au niveau de

2. Déterminer et étudier son signe. En déduire le tableau de variation de .







On cherche la valeur de qui annule :







Tableau de variation de :


La valeur qui annule f'(0) me paraît assez bizarre...

3. Démontrer que, dans l'intervalle [0;0,5] l'équation admet une solution unique que l'on notera . Déterminer une valeur de à près.

Soit la fonction définie, continue et strictement croissante dans l'intervalle à valeur dans ];].
Or 0 ];] donc l'équation f(x) = 0 admet une solution unique .

Cherchons à près :
car et
car et
car et

Donc à par excès.

Il y a une partie B mais elle n'est pas indépendante donc j'aimerais m'assurer que la partie A est exacte. Pourriez-vous m'aider ?

[pascal16]

tu as mis un 2 devant l'exponentielle au départ dans la définition de f au départ alors qu'il n'y en a pas.

pour 1
attention la limite en -oo de eˣ est 0, pas +oo
eˣ/x est un forme connue par les 'croissances comparées'.

pour le 2
ln(1/2) c'est aussi -ln(2), ce qui donne "1-ln(2)/2" soit vers 0.6534...

pour le 3.
C'est "f(x)=0, pour x dans [0;0.5]" dont on cherche la solution.
Il faut rédiger en fonction de f(0), f(0.5) et de la stricte monotonie sur [0;0.5]

ta valeur de a est bonne

[Majaspique]

Ah oui effectivement.
Pour la limite il n'y a pas une façon particulière de rédiger car ce n'est pas juste du ?
Je ne savais pas pour le ln, on a juste vu le chapitre sur les exponentiels et pas sur les logarithmes décimaux.

[pascal16]

la façon particulière, c'est de citer les croissances comparées de eˣ et de x.

les croissances comparées de eˣ et de x nous donnent :

[Majaspique]

D'accord donc je mets car :



PARTIE B
On définit la suite définie sur par et pour tout entier naturel par
1. Soit la fonction définie sur par . Justifier que g est croissante sur .







On cherche lorsque g' s'annule.


(cette ligne est-elle utile ?)
Impossible car
Donc ne s'annule pas.

Tableau de variation de :


2. Démontrer que l'équation est équivalente à l'équation . En déduire





Pour ; or donc
Est-ce suffisant ?

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel ,

Initialisation :
Si ,
donc
Donc la propriété est vraie au rang .

Hérédité :
Supposons que pour un certain entier naturel fixé, , la propriété est vraie au rang c'est-à-dire .
Démontrons que cette propriété est vraie au rang c'est-à-dire : :

car est croissante sur .


Donc la propriété est vraie au rang .

Conclusion :
Pour tout , .

b. Démontrer que la fonction est décroissante sur .
Je ne sais pas si il y a une autre méthode mais si on utilise la dérivé ça donne :




On cherche la valeur de qui annule









Tableau de variation de :


c. Comparer et . En déduire que, pour tout entier naturel , .
car est décroissante sur







d. Démontrer que, pour tout entier naturel ,
Je ne vois pas trop quelle propriété exploiter.

e. Déduire des questions (3a) et (3d) que (Un) converge vers une limite que l'on précisera.
Un converge ssi :


Et là je vois pas trop comment faire.

[pascal16]

B1 :
oui, tu peux faire sauter la recherche g'(x)=0 et la remplacer par :
l'exponentielle est strictement positive sur R, donc, pour tout x, 2ex(2x-2) >0
g'(x) >0 sur R, donc g est croissante

B2 : ok

B3a : ok, si et pas
tu peux rajouter croissante, donc elle conserve l'ordre (ça fait joli)

B3b : si on veut faire un peu de zèle, on peut dire que h est dérivable car somme de fonction dérivables et que h'(x)=...
du zèle encore : " On cherche la ou valeurs, si elles existent, qui annulent h' " (on remarquera l'écriture sans x qui marche ici).
Il te manque la justification du signe de h', soit tu le justifie, soit h'(0)<0, donc h'(x)≼0 sur [0;0.5]

B3d :

on a presque une suite géométrique.
on a des termes qui sont toujours supérieurs à la suite géométrique de premier terme Uo-a et de raison 2/e.

[pascal16]

le final :


c'est aussi, pour n non nul :

soit


mais on a aussi

e≃2.7
0<2/e<1
donc tend vers 0 quand n tend vers +∞

donc Un est encadré par quoi, et si on passe à la limite ?

[PS] : tu rédiges tes DM avec latex ? Car sinon, ça a du te prendre pas mal de temps à rédiger tout ça. Si tu continues les études, ça te servira.

[Majaspique]

Pour la d j'ai remplacé un-a par vn puis j'ai supposé que c'était une suite géométique de raison 2/e et de premier terme -a. Donc vn=v0*q^n soit vn=-a(2/e)^n. J'ai démontré que la suite était croissante car la raison était comprise entre 0 et 1 (pour u0 négatif) ce qui donnait vn+1>=vn. J'ai ensuite prouvé que vn>=-(2/e)^n puis j'ai remplacé vn par un-a. Je ne sais pas si je suis assez clair ni si ce que j'ai fais est juste mais de toutes façons j'ai déjà rendu le DM.
Pour la e j'ai fais un théorème des gendarmes et un tend vers a pour n tend vers +oo.
Merci en tous cas pour votre aide.