Fonctions. [TS]

par **Deluxor** » 06 Sep 2010, 19:23

Bonjour tout le monde.

PARTIE A :

Soit g la fonction définie sur

par

.

1) Etudier les variations de la fonction g sur

.
2) a. Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution

sur

.
b.Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de

à

près par défaut.
c. En déduire le signe de g(x) sur

.

J'ai cherché la dérivée

. Je ne vois pas comment trouver le signe de g'...

par **Monsieur23** » 06 Sep 2010, 19:29

Aloha,

C'est une identité remarquable, tu peux factoriser !

par **Deluxor** » 06 Sep 2010, 19:30

Monsieur23 a écrit:Aloha,

C'est une identité remarquable, tu peux factoriser !

Merci ! :we:

par **Sa Majesté** » 06 Sep 2010, 19:41

Monsieur23 a écrit:Aloha,

C'est une identité remarquable, tu peux factoriser !

Ça fait plaisir de te revoir par ici Monsieur 23 ! :zen:
Tes "Aloha" manquaient ! :ptdr:

par **Deluxor** » 07 Sep 2010, 16:57

Je ne vois pas comment traiter la question 2)...

par **gigamesh** » 07 Sep 2010, 20:49

Salut,
as-tu complété le tableau des variations avec le minimum local et le maximum local, ainsi que les limites ?
Dans ce cas, cherche sur quelle flèche tu peux mettre un zéro.

Bon en principe on demande un truc plus rédigé, mais placer le zéro sur la flèche est un excellent début.

On attend ensuite de toi que tu utilise un théorème de ton cours, avec les arguments suivants :
* f est continue sur un certain intervalle
* f est strictement monotone sur cet intervalle
* 0 appartient à l'image de cet intervalle par f

Suivant la version du théorème utilisée, les deux premières conditions peuvent être remplacées par des considérations sur la dérivabilité de f et sur la signe de sa dérivée, ceci sur l'intervalle considéré.

Pour le petit b), utilise un tableau de valeurs (aimablement fourni par ta calculatrice).

Pour le petit c), la justification se fait par lecture du tableau des variations.

par **Deluxor** » 08 Sep 2010, 17:36

gigamesh a écrit:Salut,
as-tu complété le tableau des variations avec le minimum local et le maximum local, ainsi que les limites ?
Dans ce cas, cherche sur quelle flèche tu peux mettre un zéro.

Bon en principe on demande un truc plus rédigé, mais placer le zéro sur la flèche est un excellent début.

On attend ensuite de toi que tu utilise un théorème de ton cours, avec les arguments suivants :
* f est continue sur un certain intervalle
* f est strictement monotone sur cet intervalle
* 0 appartient à l'image de cet intervalle par f

Suivant la version du théorème utilisée, les deux premières conditions peuvent être remplacées par des considérations sur la dérivabilité de f et sur la signe de sa dérivée, ceci sur l'intervalle considéré.

Pour le petit b), utilise un tableau de valeurs (aimablement fourni par ta calculatrice).

Pour le petit c), la justification se fait par lecture du tableau des variations.

Merci pour ta réponse gigamesh,

Cependant, je n'arrive pas à cerner la question. En faisant le tableau de variations avec maximum local, minimum local et limites, il s'avère que le 0 peut être mis deux fois... Je ne comprends pas...

par **gigamesh** » 09 Sep 2010, 19:39

Salut,
sur le tableau de variations que j'ai sous le nez,
la fonction ne s'annule qu'une seule fois.
Tu as quoi comme extrema locaux ?

par **Deluxor** » 09 Sep 2010, 19:40

-1/3 et 1/3

par **gigamesh** » 09 Sep 2010, 19:44

_Juliien__/ a écrit:-1/3 et 1/3

Non.
Les extrema locaux sont 88/9 et 92/9.
Ils sont atteints en -1/3 et 1/3 respectivement.
Attention au vocabulaire !!

Toujours est-il que tu peux alors me donner le minimum de f sur ]-oo; 1/3].
Quel est-il ?

par **Deluxor** » 09 Sep 2010, 20:00

-1/3 et 1/3..

par **gigamesh** » 09 Sep 2010, 20:07

_Juliien__/ a écrit:-1/3 et 1/3..

Non.
Ce -1/3 et ce 1/3 sont dans la ligne des x, ce sont les solutions de l'équation

.

quand on parle d'extrema locaux, on parle des images de -1/3 et de 1/3 par la fonction f.

En particulier, le minimum de f sur ]-oo;1/3] est f(-1/3), atteint en -1/3.

Calcule f(-1/3) et f(1/3).

par **Deluxor** » 11 Sep 2010, 11:42

gigamesh a écrit:Non.
Les extrema locaux sont 88/9 et 92/9.
Ils sont atteints en -1/3 et 1/3 respectivement.
Attention au vocabulaire !!

Toujours est-il que tu peux alors me donner le minimum de f sur ]-oo; 1/3].
Quel est-il ?

Oups, alors j'ai envoyé mon message en deux exemplaires sans le savoir... ^^

Alors oui : f(-1/3) = 88/9 et f(1/3)=92/9.

De là, on en déduit que le minimum de f sur ]-oo; 1/3] est 88/9 et il est atteint en -1/3.

Ha oui, la solution de l'équation g(x)=0 est sur l'intervalle [1/3;+oo[. C'est cela ?

Cependant, au niveau de la rédaction, je ne vois pas comment procéder ?

par **Deluxor** » 13 Sep 2010, 17:58

Je sais que la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-oo;-1/3], et que g(-1/3)=88/9>0, donc Cg ne courbe pas l'axe des abscisses sur cet intervalle.

De même, g est croissante sur [-1/3;1/3], et g(-1/3)=88/9, et g(1/3)=92/9, donc Cg ne coupe pas l'axe des abscisses sur cet intervalle.

g est décroissante sur [1/3;+oo[, etg(1/3)=92/9>0, donc g coupe l'axe des abscisses seulement sur cet intervalle.

Je trouve la rédaction assez maladroite (on ne parle pas de fonctions continue ou monotone), quelqu'un peut-il me proposer une rédaction rigoureuse ?

par **Deluxor** » 13 Sep 2010, 19:18

Personne ?

par **Sa Majesté** » 13 Sep 2010, 19:35

Tu peux évoquer le théorème des valeurs intermédiaires

par **Deluxor** » 14 Sep 2010, 19:03

N'ayant jamais croisé le théorème des valeurs intermédiaires, est-ce juste de dire ceci :

Sur l'intervalle ]-oo;1/3] , la fonction atteint son minimum en -1/3, qui est g(-1/3)=88/9>0 . Donc g ne s'annule pas sur cet intervalle.

Sur l'intervalle [1/3;+oo[, g est strictement décroissante et monotone, où g(1/3)=92/9>0 et lim(x->+oo) g(x)=-oo, donc 0 admet par g un unique antécédent.

par **Sa Majesté** » 14 Sep 2010, 19:12

Oui c'est juste
PS : je vois que tu as réussi à changer de pseudo :++:

par **Deluxor** » 14 Sep 2010, 19:15

Sa Majesté a écrit:Oui c'est juste
PS : je vois que tu as réussi à changer de pseudo :++:

Oui. :we:

Sinon, j'ai ensuite trouvé la valeur d'alpha. Mais pour la question 2)c. je ne vois toujours pas comment rédiger...

Je sais que g sera positive sur ]-oo;a] et négative sur [a;+oo[ mais je ne vois pas comment le dire. ^^

par **Sa Majesté** » 14 Sep 2010, 19:25

Tu as déjà dit que g est positive sur ]-oo,1/3]
Sur [1/3,a] g est strictement décroissante, son minimum est donc atteint en a et vaut g(a)=0, donc g est positive sur [1/3,a]

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