Fonctions paires et impaires

[kiara]

bonjour !

Ben depuis 1/2 heure je cogite sur un exo de maths que je n'arrive pas a resoudre :briques:
alors:
Demontrer que si F et G sont impaires, alors F+G , ZF , et F°G sont impaires et que FG est paire.
Z est un reel
L'ensenble de definition de F et de G est R.
moi je sais que pour une fonction impaire x appartient à DF
-x appartient à DF
et F(-x)=-F(x)

et que pour une fonction paire x appartient à DF
-x appartien à DF
et F(-x)=F(x)

Voila j'ai déjà cogitée dessus mais tout ce que j'ai trouvée et faux :cry: .
Un petit peu d'aide serait la bienvenue merciiiiiiiiiiiiiii!!!

[Chimerade]

bonjour !

Ben depuis 1/2 heure je cogite sur un exo de maths que je n'arrive pas a resoudre :briques:
alors:
Demontrer que si F et G sont impaires, alors F+G , ZF , et F°G sont impaires et que FG est paire.
Z est un reel
L'ensenble de definition de F et de G est R.
moi je sais que pour une fonction impaire x appartient à DF
-x appartient à DF
et F(-x)=-F(x)

et que pour une fonction paire x appartient à DF
-x appartien à DF
et F(-x)=F(x)

Voila j'ai déjà cogitée dessus mais tout ce que j'ai trouvée et faux .
Un petit peu d'aide serait la bienvenue merciiiiiiiiiiiiiii!!!

Le domaine de définition de F+G est l'intersection des domaines de définition de F et de G qui sont tous deux symétriques par rapport à 0. Il est donc symétrique par rapport à 0 également.

Si F et G sont impaires, F(-x)=-F(x) et G(-x)=-G(x)

Comme (F+G)(x) est défini comme F(x)+G(x) on a :
(F+G)(-x)=F(-x)+G(-x)=-F(x)-G(x)=-[F(x)+G(x)] = -(F+G)(x)
et voilà.

Voyons F°G. Le domaine de définition est l'ensemble des x tel que F(G(x)) soit défini. Mais si F(G(x)) est défini, F(-G(x)) l'est aussi puisque F est impaire, et F°G est donc défini sur un domaine symétrique par rapport à 0.

F(G(-x))=F(-G(x))=-F(G(x))
et voilà.

Pour FG c'est également facile :
(FG)(-x)=F(-x)*G(-x)=(-F(x))*(-G(x))=F(x)*G(x)=(FG)(x)

Donc FG est paire.
Je te laisse faire le dernier ZF

Bon courage !

[kiara]

ok merci c'est vraiment sympa pour le détail. j'essaie de voir pour ZF et puis demain je vois avec ma prof mais déjà la grace à cet exo et à toi j'ai reussi à faire (et à comprendre) la difference entre une fonction paire et une impaire et c'est déjà pas mal alors merci beaucoup!