FONCTIONS BIJECTIVES

[harsisi]

BONSOIR A TOUS CETTE QUESTION ME TOUCHE VRAIMENT
Soit f une application de E vers E. Demontrer que si f o f = IdE, aors f est bijective et f = f

[capitaine nuggets]

Salut !

J'ai envie de dire que c'est évident par définition : deux fonctions et sont réciproques l'une de l'autre si et .

Sinon, montrer que est injective à partir du fait que et utilise le fait que pour une application d'un ensemble dans lui-même, être injective équivaut à être surjective donc être bijective.

[Ben314]

Sinon, montrer que est injective à partir du fait que et utilise le fait que pour une application d'un ensemble dans lui-même, être injective équivaut à être surjective donc être bijective.

??????
L'application de N dans N qui à un entier associe son double est injective mais non surjective.
L'application de N dans N qui à un entier associe (quotient de la division euclidienne par 2) est surjective mais non injective.

[Mimosa]

Bonjour

Une suggestion un peu différente. Un résultat général bon à connaître (et éventuellement à démontrer si on ne le connaît pas) est le fait que si est injective, alors est injective, et si est surjective, alors est surjective.
Ceci rend évident le résultat de cet exercice!

[pascal16]

C'est mieux de repartir de démonstration plus basique que de résultats quasi identiques.

soient x et y deux éléments distincts de E.
fof(x)=x et fof(y)=y
si f(x)=f(y), on a f(f(x))= f(f(y)) d'une part et f(f(x))=x f(f(y))=y càd f(f(x))≠ f(f(y)) d'autre part. c'est impossible,
donc f(x)≠f(y).
càd si on prend 2 éléments quelconques distincts de E, leur images sont distinctes, f est injective.

soit x un élément quelconque
fof(x)=x
donc f(f(x))=x
donc x a un antécédent : f(x), et il est unique car f injective.
càd ; tout élément x de E a un antécédent unique, f(x), donc f bijective et la fonction réciproque de f est f.

Sauf erreur de ma part, depuis ma grippe, j'arrive pas à me concentrer plus de 2 minutes.

[Pseuda]

Bonsoir,

Je rectifie :

Sinon, montrer que est injective à partir du fait que et utilise le fait que pour une application d'un ensemble FINI dans lui-même, être injective équivaut à être surjective donc être bijective.

Sinon, f(f(x))=x signifie que f est surjective (tout élément a son image comme antécédent), et que f est injective (si f(x)=f(y), alors f(f(x))=f(f(y))...). Puis f^(-1)=f en découle (f^(-1)(x)=f(x)).

@pascal16 : j'étais idem que toi la semaine dernière. Bon rétablissement !

[pascal16]

thx