Fonction et représentation

[lepapaperdu]

Bonjour,
je voudrais vous soumettre un DM pour avoir votre avis sur le niveau de ce dernier. Mon fils étant en seconde, on nous avais annoncé que le début d'année de seconde était réservé à de la remise à niveau. Mais là j'avoue que je suis autant largué que lui.

voici le DM

8 Devoir maison n°2 : racine carré est-il rationnel ?

https://www.youtube.com/watch?v=dbFzZCUVax8

1) Après avoir regardé la vidéo ci-dessus, que signifie chez les grecs la notion de « commensurabilité ». Com-
ment la traduire mathématiquement aujourd’hui ? Suite à la découverte de l’irrationnalité de p2, comment a
fini Hippase de Métaponte ?
On va démontrer par l’absurde que p2 est irrationnel. Pour cela, on suppose dans un premier temps quep2 est rationnel.

2) Pourquoi peut-on supposer qu’il existe des entiers naturels non nuls (dans N) p et q tels que p et q n’aient
pas de diviseurs positifs communs autre que 1 et tels que p2 = p/q ?
On suppose dorénavant que p2 = p
q avec p et q tels qu’ils n’aient que 1 comme diviseur positif commun.

3) Exprimer p2 en fonction de q.

4) Démontrer que p est pair après avoir déterminé la parité de p2.

5) En déduire que q2 est multiple de 2 et montrer que q est pair.*

6) Conclure

[Rdvn]

Bonsoir,

Quelques remarques :
- je n'ai que bien peu de temps ce soir et demain (peu ce soir, rien demain) :
qu'un autre membre du forum prenne la suite, si il a la disponibilité.
- cet exercice me parait tout à fait inapproprié en seconde (raisonnement par l'absurde quasi inconnu,
thème marginal , en revanche la vidéo est intéressante).
- il y a des erreurs de recopie dans votre énoncé : j'ai dû deviner certaines questions

Eléments de réponse :

1) longueurs commensurables : il existe une unité, et des entiers naturels a et b , avec a et b mesures respectives de ces deux longueurs, dans cette unité.
traduction "moderne" : l'une est a/b fois l'autre
(a et b entiers, a/b est donc un rationnel, sachant b non nul) .
Hippase : vidéo ...

2) On peut toujours choisir a/b irréductible
(on simplifie la fraction autant que possible : exemple 12/30=6/15=2/5)

3)4)5)6) recopier la vidéo ( démonstration vers le milieu de la vidéo) avec
a=p et b=q ( r = a/b = p/q , irréductible; r : racine carée de 2).

A vous

[Rdvn]

Bonsoir
Si vous avez encore une question, je suis un peu disponible (jusque environ 21h)
Mais plus du tout demain

[hdci]

Bonjour,

Pouvez-vous préciser ce que votre fils n'a pas compris ? Ce qu'il a essayé de faire ? Avec ou sans succès ? (L'objectif du forum n'étant pas de "faire à la place", mais d'orienter, d'expliquer les erreurs, de "faire découvrir").

La plupart des questions de ce DM sont soit des applications du cours (donc, il faut aller voir le cours), soit de la manipulation de notions acquises au collège (ici, les fractions).
Attention à bien recopier l'énoncé, pour éviter toute ambigüité : par exemple; "p2=p/q" peut se lire comme "p multiplié par 2 est égal à p sur q", ce qui fait 2=1/q mais ce n'est certainement pas ce qui était écrit ; on pourrait peut-être comprendre "p au carré est égal à p/q", mais là aussi cela fait p=1/q ce qui n'a pas de ses dans ce contexte. D'après le texte, la vidéo et le programme de seconde, je comprends plutôt "racine carrée de 2 est égale à p/q", soit .

Ainsi, question 2) :
"Pourquoi peut-on supposer qu'il existe des entiers naturels non nuls p et q tels qu'ils n'aient pas de diviseurs communs autres que 1..." : il faut aller voir dans le cours la définition de "nombre rationnel" et les propriétés d'écritures associées, ce qui donne directement la réponse à cette question.

Alors, la question 3) "exprimer p2 en fonction de q" doit sûrement être comprise comme "exprimer p en fonction de q", et je rajouterai éventuellement "et de racine carrée de 2" si ce n'est pas écrit.
C'est bien du niveau collège (manipulation de fractions et écritures algébriques) : de façon générale, si a=b/c alors b=...? (en fonction de a et de c)
Pour fixer les idées et si votre fils a du mal à comprendre / manipuler les fractions, en disant "Le prix d'un croissant est égal au prix total payé, divisé par le nombre de croissants que j'ai achetés", comment calcule-t-on le prix total payé en fonction du prix du croissant et du nombre de croissants achetés ?

Question 4 : cette démonstration (n est pair si et seulement si n² est pair) figure au programme de seconde ; plus exactement, ce qui figure au programme est "le carré d'un nombre impair est un nombre impair", ce qui par contraposée permet d'en déduire "si un carré est pair alors le nombre est pair" (remarque : cette notion de "contraposée" a été vue maintes fois au collège, avec notamment les théorèmes de Pythagore et de Thalès). Soit le professeur a déjà fait cette démonstration (auquel cas elle est dans le cours de votre fils), soit il veut que ses élèves la comprennent à partir de la vidéo. (comme l'indique Rdvn, elle apparaît dans la vidéo, plus précisément à partir du temps 3:30)

Question 5 : elle permet de voir si l'élève a compris la question 4... Puisque c'est le même raisonnement, après quelques calculs qu'effectivement on est capable de faire au collège (comme "diviser par 2" pour simplifier une expression)

Enfin, je souhaite préciser ces remarques quant au programme de seconde et aux attendus :

• Si le début de la seconde peut consister en une "mise à niveau" (ce qui n'est nullement une obligation du programme), ceci fait avec plusieurs compléments essentiels, en approfondissant ce qui a été fait au collège ; le programme est suffisamment dense pour qu'on ne passe pas 1,5 mois à "ne faire que des révisions". En fait, on réinvestit les notions réputées acquises du collège pour approfondir et obtenir de nouveaux résultats (qui, il y a quelques années, étaient vus au collège...)
  
• En particulier, la démonstration "racine carré de 2 n'est pas rationnelle" est une démonstration explicitement au programme de seconde, de même que "1/3 n'est pas décimal" ; ces démonstrations sont souvent faites en début d'année car justement elles réinvestissent les "acquis" du collège (les fractions, les nombres, la notion de contraposée). Elles s'appuient sur le raisonnement par l'absurde que le professeur a très certainement présenté dans son cours, puisque celui-ci fait partie du programme de seconde (dernière phrase du programme : "les élèves produisent des raisonnements par disjonction de cas et par l'absurde"). Il est fort probable que le professeur l'ait fait avec "1/3 n'est pas décimal", et ici la vidéo permet aux élèves de manipuler / comprendre cette démonstration en "auto-entraînement". Pas d'inquiétude pour son assimilation : cette méthode sera utilisée plusieurs fois au cours de l'année.
• Avec le support de la vidéo, le niveau de difficulté de ce DM me semble normal compte tenu du délai pour le réaliser. Mais ceci suppose bien sûr de visualiser la vidéo, plusieurs fois si nécessaire... Elle dure 7:30 minutes, ce qui n'est pas très long ; malheureusement, la génération actuelle est habituée aux vidéos flash de TicToc ou autre sur smartphone, et on constate depuis quelques années une véritable difficulté pour les élèves à avoir un temps de concentration supérieur à 1 ou 2 minutes. C'est l'un des gros points à travailler au lycée.

[Rdvn]

Bonsoir à tous,
Je respecte le point de vue de hdci mais je ne le partage pas :
qu'un professeur (qui sait ce qu'il fait et où il va) démontre en classe que racine carrée de 2 est irrationnel,
passe encore, mais en faire un DM c'est, pour moi, se moquer du monde : je reste persuadé que la plupart des élèves seront démunis devant un tel sujet, et n'en tireront aucun profit .
Enfin chacun en pensera ce qu'il veut, en ce qui me concerne je pense avoir tout dit.
Bonne soirée à tous.

[hdci]

Peut-être est-ce une question de point de vue. Pour ce qui me concerne, mes élèves ont à ce stade de l'année" (vacances de la Toussaint) vu plusieurs démonstrations par l'absurde, certaines très simples, d'autres plus complexes (comme racine de 2) ; comme je leur demande de connaître certaines démonstrations ils ont eu des interrogations dans lesquelles je demandais de "compléter" une démonstration à trou (celle de "1/3 n'est pas décimal") et je pense que pour ceux d'entre eux qui ne sont pas allergiques aux maths la notion est comprise (sans que j'attende qu'elle soit maîtrisée).

Ici, le prof a donné un sujet avec des questions intermédiaires et une vidéo explicative. Sans la vidéo cela pourrait sembler "osé", mais là encore tout dépend de ce que le prof fait pour ses élèves : toujours pour ce qui me concerne, les "devoirs maisons" (que j'appelle "devoirs libres") ne sont pas évalués, mais je laisse les élèves le soin de me poser toutes questions voire de me proposer des résolutions.

Bref, sans connaître ce qu'a fait le prof, sans information sur le contexte, sans savoir son objectif, etc., il ne me semble pas possible d'émettre un jugement sur l'adéquation du sujet.