Fonction : recherche d’un extremum

[joquetino]

Bonjour

J’aurais une petite question par rapport à la résolution d’un exercice.
On étudie la fonction f(x) = abs (x2 -4).

X2 = x au carré

Il faut déterminer les points critiques. Puis déterminer les minimas, maxima locaux et globaux de f.

Voici ce que j’ai commencé à faire.
Pour déterminer les points critiques, il faut déterminer les x tel que f’(x) = 0.
Il faut donc dans un premier temps dire si la fonction est dérivable ou non.
Voici ce que j’ai fait :
1- écrire la fonction f(x) sans valeur absolue. Ainsi, j’arrive à : si -2<= x <= 2, f(x) = -x2 + 4 et f(x)=x2 -4 sinon.

2 - j’en déduis que la fonction n’est pas dérivable aux points 2 et -2 (car les limites à gauche et à droite sont différentes)

3 - je ne peux donc pas calculer la dérivée au point 2 et -2, c’est bien ça ? Je dois donc regarder s’il existe des points différents de 2 et -2 qui annulent la dérivée ?

Merci pour vos éclaircissements.
François

[Mimosa]

Bonjour

Ce que tu as fait est correct. Au points 2 et -2 il n'y a pas de dérivée.
Tu as maintenant des expressions de la fonction sur trois intervalles. Tu dérives sur chaque intervalle et tu regardes où la dérivée s'annule.

[joquetino]

Merci pour votre réponse.

J’arrive donc à :
f’(x) = 2x si x<-2 ou x>2
f’(x) = -2x si -2<x<2

f’ s’annule pour x=0. Ce point est donc un point critique.

Pour déterminer si c’est un maximum ou minimum, je dois étudier le signe de la dérivée. Dois-je faire un seul tableau de signe ou un par intervalle ?

[Mimosa]

Ca continue à être juste! Tu fais le tableau sur chaque intervalle. Tu peux remarquer que la fonction est paire.

[joquetino]

D’accord, merci. Les points 2 et -2 ne doivent pas apparaître dans ce tableau de signe ?

[Mimosa]

Seulement comme bornes d'intervalle.

[joquetino]

Ok merci. Une dernière petite question : si f n’est pas dérivable en un point, elle ne pourra pas avoir d’extremum global ? (Seulement local du coup)

[Mimosa]

Si, si elle n'a pas besoin d'être dérivable pour avoir un extremum! Trace la courbe, tu verras!
(En fait cette fonction a bien des maximums locaux et pas de maximum absolu, mais ça n'a rien à voir avec la dérivabilité.)

[joquetino]

C’est le fait d’avoir écrit 3 tableaux de signe qui me fait penser qu’il n’y avait pas d’extremum global. C’est une erreur de ma part effectivement. Merci pour l’aide en tout cas, cela me permet d’y voir plus clair et d’être plus méthodique.

[Mimosa]

[mathelot]

pour
f admet en x=0 un maximum local égal à 4


pour
f n'est pas dérivable en x=2 (et x=-2) car les nombres dérivés ,à gauche et à droite en x=2,ne sont pas égaux.

f admet un minimum global en x=2 et x=-2 égal à zéro.