DM recherche d'extremum en géométrie plane

[Neko-chan]

Bonjour à tous ! En fait j'ai un DM à faire et le problème c'est que j'ai beau réfléchir dans tous les sens je ne comprends rien ! Enfin je comprends les questions quand même mais je ne sais absolument pas comment les résoudre ! :triste: Les questions ont beau donner la réponse attendu pour la prochaine question je ne vois quand même pas du tout comment y arriver ! Alors est-ce que vous pourriez m'aider ?

ABCD est un carré, AB=1 unité de longueur. [FONT=Verdana]C[/FONT] est le quart de cercle de centre D et de rayon 1. T est un point de ce quart de cercle autre que A et C. La tangente à [FONT=Verdana]C[/FONT] en T coupe [AB] en M et [BC] en N. On cherche pour quelles positions de T la distance MN est minimale. On pose AM=x et CN=y. x et y sont donc deux réels de l'intervalle ]0,1[.

1) Démontrer que MN² = x² + y² -2x -2y +2.
Ca j'ai réussi à le faire, avec Pythagore c'était très simple mais je bloque à partir du 2) !ToT

2) Démontrer que MN=x+y. En déduire une autre expression de MN².

3) Déduire des deux questions précédentes que y= (1-x)/(1+x) puis que MN=(x²+1)/(x+1).

4) Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur [0,1] par;
[CENTER]f(x)=(x²+1)/(x+1)[/CENTER]
En déduire que MN est minimal pour x= (racine de 2)-1.

5) Calculer la valeur de y pour x= (racine de 2)-1. En déduire la position de T pour laquelle la distance MN est minimale.


Voilà le problème qui me pose problème justemen ! XD Franchement si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa parce que passer toute une aprem dessus sans rien toruver à part une pauvre petite réponse c'est rageant ! Merci d'avance ! =)

[Ben314]

Pour le 2), je vois plusieurs méthodes pour arriver... au même résultat (ça dépend de ce que l'on sait concernant les tangentes à un cercle...) Je t'en donne une qui n'est pas la plus jolie, mais la plus élémentaire :
Calcule de deux façons différentes (mais 2 fois avec pythagore) la longueur MD. Conclusion.

[Neko-chan]

mais comment je peux obtenir MN à la fin si je fais pas de calcul avec N ? Et puis j'ai beau regarder la figure que j'ai faite, on peut pas utiliser deux fois Pythagore ! OO

[Ben314]

AMD est rectangle en A donc ...
TMD est rectangle en T donc ...
On déduit de ces deux égalités que...

PUIS,
de même, les rectangles... et ... sont rectangles donc....

[Neko-chan]

A oui d'accord je vois ! je pensais même plus à la tangente alors forcément !
Bon alors je trouve ça :
MD²=1+x² et MD²=1+MT² donc 1+x²=1+MT² donc MT=x
DN²=1+y² et DN²=1+TN² donc 1+y²=1+TN² donc TN=y
MN=MT+TN donc MN=x+y

mais alors l'autre expression de MN² c'est MN²=(x+y)² ?

[Ben314]

Ben...oui !

[benekire2]

Ben...oui !

Tu t'interpelle ?
.. Ok je sors

[Neko-chan]

oula c'était... spécial ! XD

[Neko-chan]

Bon alors sinon ok pour le 2) mais pour le 3) comment on peut arriver à trouver y= (1-x)/(1+x) puis que MN=(x²+1)/(x+1) ? enfin je veux dire y c'est CN non ?

[Ben314]

Oui, mais pour cette question qui ne parle que de relations entre x et y, le coté "géométrique", on s'en fout un peu...
Ce qu'il faut voir c'est que, comme MN² s'exprime de DEUX facons différentes à l'aide de x et de y, cela te fait une relation entre x et y, ce qui, avec un peu de chance, peut te permettre d'exprimer y en fonction de x.
Ensuite tu remplace le y par ce que tu as trouvé comme expression dans une des deux formules de MN=... et tu trouve ce que l'on te dit, c'est à dire une expression de MN en fonction de x uniquement.

[Neko-chan]

nya ok merki ! J'essaierai de continuer ça demain ! ^^

[Neko-chan]

Bon alors je me suis remise au DM avec un courage démesuré et donc j'ai réussi le 3) sans problème ! Trop contente mais le problème c'est que devinez la suite... Je vois pas comment dresser ce fichu tableau de variation et encore moins en déduire que Mn est minimal pour etc...