Calcul de volume, recherche d'un extremum

[angel_2a]

Bonjour, voilà j'ai un petit soucis avec un exercice.

énoncé: Une bouée ayant la forme d'un double cône doit être construite au moyen de deux secteurs circulaires plans métalliques de rayon 3dm. (unité choisie le dm). On désigne par h la hauteur du cône, par r son rayon de base. On fixe la longueur de sa génératrice à 3 dm. On se propose de déterminer ses dimensions pour que le volume de la bouée soit maximal.

1) exprimer le volume de V de la bouée en fonction de r et de h (déjà fait)

2) Montrer que ce volume peut s'écrire sous la forme:
V(h)= 2/3pi *(9h-h^3) avec 0<=h<=3

3) Étudier les variations de la fonction V sur [0, 3]
En déduire que V admet un maximum V0 pour un réel h0 dont on donnera la valeur exact.

4)a) Calculer le volume maximum de la bouée; en donner une valeur approchée en dm^3 à 10^-3 près.

b) Soit r0 le rayon de base correspondant à ce maximum.
Démontrer que r0=h0*racine2

Voilà je bloque vraiment pour montrer le volume :mur: (question2) si vous pouviez m'aider à avancer un peu. merci.

[Ericovitchi]

Donc tu as trouvé le volume V = 2/3 pi r² h

Mais la hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle et tu peux écrire Pythagore h²+r²=9

Il suffit que tu tires r² de cette équation et que tu remplaces dans la première pour trouver l'équation qu'ils demandent

[Mukito]

bonsoir,

juste une correction il me semble que le volume d'un cone

est de: V= 1/3 Pi r^2 h et non 2/3

voila,

bonne continuation

[Ericovitchi]

Dans le cas présent il y a deux cônes, c'est pour ça que le volume est V = 2/3 pi r² h

[Mukito]

c'est exact ,

merci Ericovitchi :we:

[angel_2a]

Merci beaucoup, j'avais pas vu pour Pythagore :ptdr: Enfin voilà j'ai fini mon exercice !

[leatii]

Salut desole de te deranger mais j'ai le meme exercice j'ai tout compris et fini a part la 4eme question que je cherche depuis deux heures... pourrait tu maider a demontrer que r0 = h0 racin de 2 sil te plait sa serais tres gentil merci dvance

[Ericovitchi]

oui donc la fonction est f(h)=2/3pi *(9h-h^3)

elle atteint son maximum pour la valeur qui annule la dérivée entre 0 et 3. la dérivée c'et 2/3pi* (9-3h²) qui s'annule pour h²=3 donc h=

le volume vaut alors 2/3 \pi * (9\sqrt{3} - (\sqrt{3})^3) = 2/3 pi * 6 = 4

le r0 qui correspond est tel que h²+r0²=9 et comme h²=3 r0²=6 et r0=
on a bien r0 = h0 \sqrt{2} car c'est équivalent à r0²=2h0²
(et on a bien 6 = 2 x 3)

[leatii]

pourquoi es-ce que ro²=2Xho² .??

[Ericovitchi]

quand on élève r0 = h0 au carré ça fait r0²=2h0²

et puis comme on a trouvé r0²=6 et h0²=3 on vérifie que la relation est bien vraie. (mais tu aurais pu directement vérifier r0 = h0 moi j'ai élevé au carré juste pour ne pas faire des calculs avec des racines partout)

[leatii]

daccords merci beaucoup

[supertramp97]

quand on élève r0 = h0 au carré ça fait r0²=2h0²

et puis comme on a trouvé r0²=6 et h0²=3 on vérifie que la relation est bien vraie. (mais tu aurais pu directement vérifier r0 = h0 moi j'ai élevé au carré juste pour ne pas faire des calculs avec des racines partout)

Bonjour j'ai le meme exercice a faire et j'aimerais savoir si mes resultat son juste donc pour la question 3 la fonction v atteint son maximum pour la valeur qui annule la derivé entre o et 3 , donc racine de 3. donc pour h egale a racine de 3, la fonction v admet un maximum qui vaut environ 21,76;
voila mais pour la question 4 je ne comprends pas comment calculer le volume maximal de la bouée, merci mille fois a ceux qui predron de leurs temps pour aider un petit etre innocent qui ne veut que juste comprendre.

[supertramp97]

daccords merci beaucoup

BONJOUR J4AIMERAIS BIEN QUE TU M4AIDE POUR LES QUESTIONS " ' ET STP

[paquito]

Le maximum est atteint pour h =V3 et r=V6, donc (2/3)TT*r²*h=(2TT/3)*(V6)²*V3= (4TT)*V3=
2176559237......La fonction v, c'est le volume.....

[supertramp97]

Le maximum est atteint pour h =V3 et r=V6, donc (2/3)TT*r²*h=(2TT/3)*(V6)²*V3= (4TT)*V3=
2176559237......La fonction v, c'est le volume.....

Merci est pourait tu m'expliquer la derniere question stp

[paquito]

Merci est pourait tu m'expliquer la derniere question stp

ON atouvé h0=V3 et r0=V6, donc h0*V2= V3*V2= V(3x2)=V6=r0.