Fonction rationnelle. Comment trouver les 2 points les plus rapprochés?

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Fraggs
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Fonction rationnelle. Comment trouver les 2 points les plus rapprochés?

par Fraggs » 06 Déc 2008, 04:36

Bonsoir à tous,
Je suis tout nouveau sur votre forum, et déjà, j'ai une question pour vous...

Je suis présentement face à un problème qui me demande, formulé dans une belle mise en situation, quelle est la distance minimale entre les 2 courbes que forme la fonction rationnelle
f(x)=y=((1600/(x-20))+1000

J'ai cherché en vain à résoudre ce problème, et la meilleure façon d'y arriver que j'ai trouvé est de trouver les coordonnées du point central de chacune des courbes puis d'appliquer la formule de la distance entre 2 points.

Seulement, j'ignore comment trouver les coordonnées de ces points, ni même si c'est possible...

Merci de bien vouloir me donner un coup de main



uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 04:42

Salut,

je ne comprends pas très bien la question: f(x)=y=((1600/(x-20))+1000 ne définit qu'une seule courbe, pas deux.

Fraggs
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par Fraggs » 06 Déc 2008, 05:01

Merci d'avoir répondu si rapidement,

Pour ce qui est de savoir si cela forme 1 courbe ou 2, j'ai appris que les fonction rationnelle (La fonction rationnelle de base étant y=1/x) donne 2 courbes symétriques et opposées...

Dans le cas de la fonction de base y=1/x,
Nous aurons 2 courbes opposées par le point d'origine qui s'approcheront indéfiniment des axes x et y sans jamais les toucher....

Voici une image...
Image

Théoriquement cette fonction ne définit qu'une courbe mais bon, sur graphique on en voit 2.

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 05:13

ok, merci pour les précisions.
Au fait, je suppose que tu es au lycée (1ere ou Tale), je vois mal comment on pourrait étudier ça au collège (enfin, ce qu'on appelle lycée en France, tu es au Québec, c'est ça ?)
Bon, je pense que le point "central" est celui où la dérivée vaut -1 (la tangente a un angle de 45 degrés), il faudrait donc calculer la dérivée et trouver ces deux points.

Fraggs
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par Fraggs » 06 Déc 2008, 05:18

Merci encore pour ton aide,
Oui je suis du Québec (secondaire 5, mathématique 536). Désolé d'avoir posté dans la mauvaise section, je ne savais pas trop vers où me diriger)

Donc, déjà avant d'essayer ce que tu me propose, j'ai un autre problème...
Il y a des termes dans ton explications qui me sont complètement inconnus.
Dont le plus importants...dérivée. Je n'ai jamais entendu ce terme, tu crois que tu pourrais me donner un petit cours sur les expressions mathématiques française ?

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 05:26

ok, je déplace dans lycée, je vais essayer de te donner des explications sans utiliser la dérivée (je pense que c'est le même terme au Québec), mais demain, il est 3h30 du matin ici et je commence à être vraiment fatigué

Sve@r
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par Sve@r » 06 Déc 2008, 10:46

Fraggs a écrit:Merci encore pour ton aide,
Oui je suis du Québec (secondaire 5, mathématique 536). Désolé d'avoir posté dans la mauvaise section, je ne savais pas trop vers où me diriger)

Donc, déjà avant d'essayer ce que tu me propose, j'ai un autre problème...
Il y a des termes dans ton explications qui me sont complètement inconnus.
Dont le plus importants...dérivée. Je n'ai jamais entendu ce terme, tu crois que tu pourrais me donner un petit cours sur les expressions mathématiques française ?


Est-ce que tu ne comprends pas le terme "dérivée" ou la notion de dérivée ???
Si c'est juste le terme, ce que nous appelons "dérivée" sont les fonctions f' issues de f qui se calculent comme ça
f'(x) pour une fonction de type => (les termes constants disparaissent d'une dérivée) => typiquement f(x)=x² => f'(x)=2x

Ainsi la dérivée de (qui peut se voir comme ) donne

Ensuite viennent les règles des opérations sur comment dériver une fonction pouvant être vue comme la composition de deux fonctions plus simples u et v
(u+v)'=u'+v'
(uv)'=uv' + u'v
(u/v)'= (uv' - u'v)/v²
(u(v))'=u'(v) * v'

Si c'est la "notion" de dérivée que tu ne connais pas, alors cela va devenir un peu plus long à expliquer...

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 13:57

Bonjour,

j'ai fait un peu de recherches sur internet et il semblerait que le secondaire 5 corresponde à notre classe de 2nde: http://zonemath.csmv.qc.ca/liens/niveaux.html
J'ai aussi vérifié le programme de maths 536 et il n'y a pas de dérivées (ce qui n'est pas vraiment surprenant, vu qu'on fait ça en première chez nous)
Il faut donc résoudre sans utiliser de dérivées

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 14:09

il faire ça avec des considérations géométriques à mon avis. Prenons le cas de la fonction 1/x.
Par symétrie de la courbe, on voit que le point de la demi-courbe de droite le plus proche de la demi courbe de gauche est aussi le point le plus proche de O. Il s'agit, comme l'a dit "Fraggs", du point central, que l'on peut constrire géométriquement comme étant le point qui se trouve sur la droite y=x.
Pour trouver ce point, il faut donc égaliser x=1/x soit x=1. La distance entre (1,1) et O est donc la plus petite distance entre les deux moitiés de la courbe est
Maintenant, dans ton exercice, il faut trouver le point de symétrie de ta courbe et adapter la méthode.

Sve@r
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par Sve@r » 06 Déc 2008, 14:21

uztop a écrit:. Il s'agit, comme l'a dit "Fraggs", du point central, que l'on peut constrire géométriquement comme étant le point qui se trouve sur la droite y=x.

Peut-on prouver que ce point central C(1; 1) est bien le plus proche du point de symétrie (ici O) sans utiliser de dérivée ?

Géométriquement, la distance la plus courte entre un point P et une courbe C se traduit par la création d'un point M appartenant à C tel que la tangente à C en M sera perpendiculaire à PM. Alors la distance séparant P de M est la distance la plus courte possible entre P et la courbe.

Dans l'exemple y=1/x, la tangente à la courbe en C donne une droite d'équation y=-x + k et cette droite est bien perpendiculaire à la droite y=x. Pour trouver l'équation de cette tangente, je suis passé par la dérivée. Mais sans ça... :briques:

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 14:26

je dirais qu'en seconde, on ne peut pas le montrer de manière formelle; on peut par contre constater en traçant la droite y=x et la tangente à la courbe en C que ces deux droites sont bien perpendiculaires, ce qui montre que c'est bien le point le plus proche

Sve@r
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par Sve@r » 06 Déc 2008, 16:33

uztop a écrit:je dirais qu'en seconde, on ne peut pas le montrer de manière formelle; on peut par contre constater en traçant la droite y=x et la tangente à la courbe en C que ces deux droites sont bien perpendiculaires, ce qui montre que c'est bien le point le plus proche

Mouais. Personnellement j'aime pas les résultats donnés "au feeling" mais si c'est la seule possibilité...

Fraggs
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par Fraggs » 06 Déc 2008, 17:48

Bon matin,
C'est un peu dur en se réveillant, mais je crois avoir saisis...

Donc, dans ma situation, le point de symétrie est (20,1000) soit l'endroit où se rejoignent mes 2 asymptotes. Ainsi donc je dois trouver le point dans l'une ou l'autre des courbes qui est le plus rapproché de ces coordonnés.

C'est là que je bloque encore...Je crois avoir plus ou moins compris comment tu y étais arrivé uztop, mais lorsque j'essaie avec ma situation, j'arrive à 2 réponses soit 18,37 et 1001,63. Si je me fie à ce que j'ai compris de ton explication, le point central de ma courbe serait situé soit en (18.37;18.37) ou en (1001.63;1001.63) ce qui est impossible...

Merci de votre aide.

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 19:33

Salut,

oui, tu as utilisé une bonne méthode pour le point de symétrie et ta réponse est juste (le point de coordonnées (20;1000) )
Maintenant, il faut tracer une droite de pente 1 qui passe par ce point et voir à quel moment elle rencontre la courbe.
Les résultats que tu trouves ne sont pas bons (tu dois avoir tracé une mauvaise droite)
PS: pour le "bon matin", c'est un peu tard: il fait déjà nuit ici :)

Fraggs
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par Fraggs » 06 Déc 2008, 20:12

Ah ok, j'avais mal compris alors ^^

Présentement je suis au boulot donc je ne peux essayer tout de suite, mais dès que je rentre je tente le coup.

Comme je ne peux résoudre le problème graphiquement, je veux m'assurer de ne pas partir avec de mauvaises équations de base.
Donc l'équation de ma droite sécantes aux 2 courbes sera
y=x+980 ?

Soit
y=ax+b
1000=1*20+b
1000=20+b
980=b

y=1x+980

Ensuite je n'ai qu'à trouvé les coordonnés du points ou la courbe et la droite sont sécantes...

C'est bien ça ?

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 20:21

oui, c'est bien ça

Fraggs
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par Fraggs » 06 Déc 2008, 20:44

J'ai mis la main sur une calculatrice graphique et cela confirme mes doutes, la droite y=x+980 ne coupe pas les courbes de façon symétrique, loin de là...

Ce problème est plus compliqué que je ne l'avais prévu =S

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 20:57

quelle échelle as-tu utilisé sur ta calculatrice ?
Vu les très gros chiffres en y, tu ne peux pas utiliser une échelle normale et la courbe est déformée.

Fraggs
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par Fraggs » 06 Déc 2008, 21:14

J'ai utilisé
Xmin=0
Xmax=50
Ymin=0
ymax=5000
Xscale=1
Yscale=1

uztop
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par uztop » 06 Déc 2008, 21:16

oui justement, l'échelle en y est 100 fois plus importante que celle en x: du coup ça déforme la courbe.

 

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