Fonction polynome ou non

[herve67]

Bonsoir j'aimerais savoir pourquoi la fonction f(x)= 1/x (x^3-x^2) n'est pas une fonction polynôme.
Car en developant je trouve f(x)=x^4-x^3 :marteau:


Merci

[L.A.]

Bonjour,

avant tout précise bien les parenthèses nécessaires à la compréhension de la fonction.

de quelque manière que je comprenne, la simplification que tu proposes est fausse

[herve67]

f(x)=1/x(x^3-x^2)=x^3/x-x^2/x puis je multiplie par x donc x^4 -x^3

[L.A.]

Sauf erreur (ce qui m'étonnerait un peu)

(a^n)/a = a^(n-1)

encore une fois :bad: est-ce 1/(x(x^3-x^2)) ou (1/x)*(x^3-x^2) ??

[herve67]

ah dsl c'est bien (1/x) (x^3-x^2)

merci

[L.A.]

Bonsoir j'aimerais savoir pourquoi la fonction f(x)= 1/x (x^3-x^2) n'est pas une fonction polynôme.

Maintenant pour répondre à la première question,

F = (X^3-X^2)/X désigne à priori une fraction rationnelle à coefficients réels
(ens. des fractions rationnelles réelles noté IR(X))

l'ens. des polynomes IR[X] est un anneau contenu dans le corps IR(X)
et après simplification, on tombe bien sur un élément de IR[X].
donc F serait bien un polynôme

La question est : a-t-on le droit de faire cette simplification ? Pour moi il n'y a pas de problème, puisque, bien que f donnée telle quelle ne soit pas définie en 0, elle est prolongeable par continuité en 0 et coïncide alors avec un polynôme.

[herve67]

Maintenant pour répondre à la première question,

F = (X^3-X^2)/X désigne à priori une fraction rationnelle à coefficients réels
(ens. des fractions rationnelles réelles noté IR(X))

l'ens. des polynomes IR[X] est un anneau contenu dans le corps IR(X)
et après simplification, on tombe bien sur un élément de IR[X].
donc F serait bien un polynôme

La question est : a-t-on le droit de faire cette simplification ? Pour moi il n'y a pas de problème, puisque, bien que f donnée telle quelle ne soit pas définie en 0, elle est prolongeable par continuité en 0 et coïncide alors avec un polynôme.

Ok merci, mais si on n'a pas encore fait l'anneau dans le corps IR(X) on ne peut donc pas simplifier alors elle est n'est pas polynôme?

[L.A.]

:hein: :hein:

pour rester bref, il s'agit juste d'un problème de définition rigoureuse, et j'ignore la réponse exacte

je reviens sur le prolongement par continuité. posons :

f(x) = (x^3 - x^2)/x
g(x) = x² - x

les ens. de définition sont : Df = IR\{0} et Dg = IR
donc il est clair que f différent de g

or, pour tout x dans IR\{0} f(x) = g(x)
et g continue avec g(0) = 0

on est amené à prolonger f par continuité en 0
en posant f2 (nouvelle fonction) définie sur IR, qui coïncide avec f sur IR\{0} et telle que f2(0) = g(0) = 0

ainsi f2 = g : la fonction f2, resultat de la prolongation de f en 0 par continuité, coïncide avec g

bref f et g sont quasiment les mêmes fonctions, à un point près.
comme g est un polynôme, f l'est "plus ou moins" aussi

[Clembou]

Ok merci, mais si on n'a pas encore fait l'anneau dans le corps IR(X) on ne peut donc pas simplifier alors elle est n'est pas polynôme?

Heu ! N'oublions pas un truc :

n'est définie que sur ... car on ne peut pas diviser par 0.

[herve67]

R* veut dire quoi? stp

[Clembou]

R* veut dire quoi? stp

R privé de son élément neutre multiplicatif (c'est-à-dire 0)...

[herve67]

Donc ce n'est pas un réel et donc pas un polynome?

Merci pour vos réponses :we:

[Clembou]

Donc ce n'est pas un réel et donc pas un polynome?

Merci pour vos réponses :we:

Ba, après simplification, si, c'est un polynôme dans mais j'ai un doute concernant x=0.

[herve67]

Ok merci à vous deux L.A et Clembou de m'avoir aidé :p