Fonction périodique donc dérivée périodique

[egan]

Salut,
J'ai eu une idée à propos des fonctions périodiques, je vous propose une propriété et une démonstration. La propriété semble vraie mais j'ai un doute sur ma démonstation.

Soit F une fonction définie, périodique de période a, a réel strictement positif, et dérivable sur un intervalle I.
Alors F' est une fonction définie et périodique de période a, sur I.
De plus, si f est de classe , toutes ses dérivées sont définies, périodiques de période a et dérivables sur I.

Démonstration:

F est dérivable sur I donc F' est définie sur I.
F est dérivable sur I donc elle est continue sur I.
F est périodique donc:
F(x+a)=F(x), x réel, a réel strictement positif avec (x+a) appartenant à I.
pour tout x appartenant à I.

car F périodique de période a.

car (x+a) appartient à I et que F continue sur I.

car F périodique de période a.
car (x+h) appartient à I et que F continue sur I donc

Donc F'(x+a)=F'(x) pour tout (x+a) et pour tout x appartenant à I donc F' est périodique sur I.
Si F est de classe , de manière récurente, on appliquerait le raisonnement précédent a F' qui serait dérivable sur I et ainsi de de suite.

Ca vous semble correcte ?

[Ericovitchi]

Heu, vers la fin ça a l'ait un peu tiré par les cheveux ou alors c'est moi qui n'est pas bien compris.
Notamment quand tu écris
qui fait zéro
(même avec un h qui tends vers zéro au dénominateur) et pourtant tu passes à pour en déduire que F'(x+a)=F'(x) ?

Moi pour démontrer que les dérivées d'une fonction périodique sont périodiques, j'aurais juste dérivé F(x+a)=F(x)

[skilveg]

C'est douteux ton "", tu ne trouves pas?

Le plus simple c'est quand même de remarquer que, sous réserve de définition, .

[Argh, la malédiction des posts simultanés a encore frappé...]

[egan]

Merci, je me disais bien que c'était limite à certains endroits.
Skilveg, on a pas le droit d'écrire que la limite d'un quotient est égale au quotient des limites ?
Ta deuxième remarque est judicieuse mais comment peut-on être sûr que x+a+h appartient à I ? J'ai posé x+a appartient à I au début, il est peut-être plus simple de poser x+a+h appartient à I dès le début non ?
J'avais une question qui me tracassait aussi: dans la définition de la dérivée (limite (......) quand h tend vers 0), est-ce que h est un réel positif ou quelconque ?

[skilveg]

on a pas le droit d'écrire que la limite d'un quotient est égale au quotient des limites ?

Si, mais sous certaines hypothèses: il faut que la limite du bas soit non nulle! sinon ça revient à diviser par zéro.

il est peut-être plus simple de poser x+a+h appartient à I dès le début non ?

Oui, et en plus c'est légitime, si est ouvert et si , ce sera vrai pour assez petit (et c'est tout ce qui nous intéresse).

dans la définition de la dérivée (limite (......) quand h tend vers 0), est-ce que h est un réel positif ou quelconque ?

Quelconque pour une dérivée, positif pour une dérivée à droite, négatif pour une dérivée à gauche, ce qui est logique.

[egan]

Pourquoi I doit être ouvert ?

[skilveg]

Par exemple, si qui n'est pas ouvert en 1, si et , on aura bien mais on ne pourra pas dériver à droite en .

[egan]

Mais s'il est ouvert en 1 on ne pourra pas dériver à droite non plus, non ?

[skilveg]

S'il est ouvert en 1, 1 ne sera pas dedans, donc on aura effectivement du mal à dériver en 1.

[egan]

Je ne comprends pas l'intérêt à ce que I soit ouvert. :triste:

[egan]

Skilveg, t'aurais la patience de tout reprendre ?

[xyz1975]

1/ Il n'est pas facile de parler de fonctions périodiques définies sur un domaine non périodique.
2/ La limite n'est pas compatible avec les opérations :
La limite d'un quotient est égale au quotient des limites si la limite du dénominateur est non nulle (déjà dit par skilveg).
3/ Pourquoi on suppose que I est ouvert lorsqu'on parle de dérivabilité (en fait de limite)?
Écrire

n'a de sens que si f(a+h) est réel or ce n'est pas le cas sauf si I est ouvert car a est dans I alors a+h est aussi dans I avec h proche de zéro.

[egan]

I ouvert, c'est donc pour éviter de dériver sur la borne dans le cas d'un intervalle fermé, ce qui ne serait pas possible.
Mais si f est définie sur [0;1], on peut très bien dériver à gauche en 1 non ?

A moins que quand on dit qu'une fonction est dérivable en a, cela revient à dire que l'on peut dériver des deux côtés et que si l'on dérive à droite et à gauche, on obtiendra la même chose, non ?

[xyz1975]

I ouvert, c'est donc pour éviter de dériver sur la borne dans le cas d'un intervalle fermé, ce qui ne serait pas possible.
Mais si f est définie sur [0;1], on peut très bien dériver à gauche en 1 non ?

Par définition, une fonction est dérivable sur [a;b] si et seulement si elle l'est sur l'ouvert ]a;b[, à droite de a et à gauche de b.

A moins que quand on dit qu'une fonction est dérivable en a, cela revient à dire que l'on peut dériver des deux côtés et que si l'on dérive à droite et à gauche, on obtiendra la même chose, non ?

La dérivation est une notion de limite, dire que la limite en a est égale à L par exemple cela veut que la limite à droite et à gauche est L.

[egan]

La dérivation est une notion de limite, dire que la limite en a est égale à L par exemple cela veut que la limite à droite et à gauche est L.

D'où le fait que si l'on ne peut dériver que à gauche, comme en 1 dans ]0;1], alors on ne peut pas dériver tout court.
C'est ça ?